• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Автоморфные формы и их приложения

В 2015 году начал работу на факультете математики ВШЭ как совместный еженедельный семинар Лаборатории алгебраической геометрии, Лаборатории Понселе (Laboratoire J.-V.Poncelet, CNRS) и Независимого Московского Университета. С декабря 2016 года семинар продолжил свою работу на факультете на базе Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм, сохраняя контакты со всеми упомянутыми математическими организациями.

Организаторы: Сергей ГалкинВалерий ГриценкоВячеслав Спиридонов
Секретарь семинара: Дмитрий Адлер.
Место: факультет математики ВШЭ, ул.Усачева, дом 6, ауд. 306 
Время: понедельник, 18:00-20:00.

Видеозаписи докладов

 

Доклады:

 

26.02.2018  начало в  18:00 

 

Николай Богачев (МФТИ, МГУ). О методах классификации рефлективных гиперболических решеток

Классификация рефлективных гиперболических решеток является давней открытой проблемой, поставленной в 1967 году Э.Б. Винбергом. В.В.  Никулин (1980-е, 2007) доказал, что рефлективных гиперболических решеток имеется лишь конечное число во всех размерностях, а сами размерности, для которых рефлективные решетки существуют, были ограничены Э.Б. Винбергом и Ф. Эссельманом (1984, 1996).
Я расскажу в докладе о новом методе классификации рефлективных гиперболических решеток (являющемся модификацией метода, примененного В.В. Никулиным), который мне удалось применить для классификации (1.2)-рефлективных анизотропных гиперболических решеток ранга 4 (то есть для решеток, чьи группы автоморфизмов с точностью до конечного индекса порождены 1- и 2-отражениями). Также я расскажу о компьютерной реализации алгоритма Винберга (совм. с А.Ю. Перепечко) построения фундаментального многогранника для групп вида R(L).


05.02.2018 
 начало в  18:00 

Василий Болбачан (НИУ ВШЭ). Автоморфизмы кубических гиперповерхностей и их модулярная интерпретация

На кубической гиперповерхности X можно рассмотреть подгруппу G\subset Aut(X) порожденную инволюциями в точках Экарта. С другой стороны для размерностей 1,2,3,4 есть модулярное описание пространства модулей кубических гиперповерхностей. При этом оказывается, что подмногообразие кубических гиперповерхностей, имеющих точку Экарта, задается как ортогональное дополнение к некоторой решетке. Таким образом кубические гиперповерхности с данной G имеют модулярное описание, а группа G реализуется как группа автоморфизмов некоторой положительно определенной решетки и порождается там отражениями относительно подрешеток. Я хочу дать обзор результатов в этой области.


29.01.2018 начало в  17:00
Выездное заседание в рамках зимней  математической школы "Статистические суммы и автоморфные формы"  в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Дубна 

17:00—18:00, ауд. Боголюбова

Вячеслав Спиридонов (ЛТФ ОИЯИ и НИУ ВШЭ). Введение в теорию эллиптических гипергеометрических интегралов

Суперконформные индексы четырехмерных суперсимметричных теорий поля описываются эллиптическими гипергеометрическими интегралами.
Я опишу наиболее важные математические факты об этом классе специальных функций и представлю некоторые методы доказательства тождеств для них, которые подтверждают гипотезы о двойственности Зайберга.


22.01.2018
 начало в  18:00

Иван Яковлев (НИУ ВШЭ). Категория Фукая рационального стягивания

Рациональное стягивание M → M(p) — это перестройка гладкого 4х-мерного многообразия, сохраняющая симплектическую структуру. Результаты Финтушела и Стерна позволают понять, когда последовательность раздутий, перестроек по узлам и рациональных стягиваний приводит к многообразию, гомеоморфному, но не диффеоморфному исходному. Таким образом может быть получено множество экзотических симплектических многообразий, про геометрию которых мало что известно. В работе мы вычисляем категорию Фукая M(p) по категории Фукая M. Пользуясь результатами Ганатры, мы доказываем аналогичный результат для симплектических гомологий.


9.01.2018 начало в  15:30

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/UIF/University Lille). L-функции парамодулярных форм Зигеля веса 3. (Приглашение в новый проект.)

В докладе будет предложено элементарное введение в теорию L-функций зигелевых модулярных форм для начинающих. Однако, мой доклад является и приглашением в новый научный проект. Василий Голышев в своем предновогоднем докладе объяснил, что мотивная L-функция трехмерных многообразий Калаби-Яу должна совпадать с L-функцией парамодулярной формой Зигеля рода 2 и веса 3.Первый возможный парамодулярный уровень для многообразий Калаби-Яу равен 61. Именно такую форму можно посторить, используя технику статьи Gritsenko, Poor and Yuen, Borcherds Products Everywhere, Journal of Number Theory 148 (2015), 164-195. Один из вопросов 2018 года — исследование арифметических свойств этой парамодулярной формы уровня 61.


25.12.2017 начало в  18:00

Василий Голышев. Четырехмерные представления Галуа типа Калаби-Яу

Мы обсудим, как выглядят аналоги известных задач про эллиптические кривые в случае четырехмерных представлений Галуа типа Калаби-Яу: аналитическое продолжение L-функций, функциональное уравнение, гипотеза Делиня, гипотеза Блоха-Като. Мы рассмотрим и новое явление - наличие бисравнений, не существующее в двумерном случае.


11.12.2017 начало в  18:00

В.П. Спиридонов (НИУ ВШЭ / ЛТФ ОИЯИ). Дуальность Зайберга и суперконформные индексы

Двойственность Зайберга, предложенная в 1994 г., - это "электромагнитная" дуальность двух или нескольких четырехмерных N=1 суперсимметричных квантовых теорий поля с неабелевыми калибровочными полями, которые предположительно эквивалентными друг другу в режиме сильной связи (в суперконформной критической точке). Суперконформные индексы были предложены в 2005 г. как генерирующие функции перечисляющие BPS-состояния таких теорий поля. Оказалось, что эти индексы совпадают с эллиптическими гипергеометрическими интегралами, сконструированными докладчиком в 2000 г. Равенства этих индексов, устанавливаемые с помощью "гипергеометрических" методов, и доказывают эквивалентность двойственных теорий в секторе BPS-состояний. В докладе будет дан обзор этих фактов.


4.12.2017 начало в  18:00

Дмитрий Адлер (НИУ ВШЭ). Структура форм Якоби для решётки корней D8

Для решётки с заданным на ней скалярным произведением можно определить понятие форм Якоби, связанных с этой решёткой. Оказывается, что в некоторых случаях построенные таким образом формы Якоби образуют свободную алгебру над кольцом модулярных форм. В моём докладе я докажу, что это выполнено в случае форм, связанных с решёткой корней D8. Также я построю образующие этой алгебры.


27.11.2017 начало в  18:00

Artan Sheshmani (Harvard University). On some modularity properties of Donaldson-Thomas invariants of compact Calabi-Yau threefolds predicted by supersymmetric string theory.

I will talk about one of the special cases of the S-duality conjecture in superstring theory, made formerly by physicists Gaiotto, Strominger, Yin, regarding the modularity of DT invariants of sheaves supported on hyperplane sections of the quintic Calabi-Yau threefold. In order to approach this problem mathematically, one needs to reduce the threefold theory to a certain intersection theory over the relative Hilbert scheme of points on surfaces and then prove the claimed modularity. More precisely, I will talk about our proof that the generating series, associated to the top intersection numbers of the Hilbert scheme of points, relative to an effective divisor, on a smooth quasi-projective surface is a modular form. This is a generalization of the result of Okounkov-Carlsson, where they used representation theory and the machinery of vertex operators to prove this statement for absolute Hilbert schemes. These intersection numbers eventually, together with the generating series of Noether-Lefschetz numbers as I will explain, will provide the ingredients to achieve an algebraic-geometric proof of S-duality modularity conjecture.


20.11.2017 начало в  18:00

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/Lille 1/IUF). Гипотеза о тета-блоках первого порядка. Часть 2: система корней A4 и произведения Борчердса.

Тета-блоки — специальные бесконечные произведения, являющиеся голоморфными формами Якоби. Эти объекты имеют отношения к теории чисел, теории автоморфных форм, алгебрам Ли, алгебраической геометрии и теории струн. Гипотеза о тета-блоках порядка 1 была сформулирована в статье Gritsenko, Poor, Yuen в 2013 году. В первом докладе мы дали общих обзор конструкции тета-блоков в связи с теорией модулярных форм Зигеля. Во втором докладе мы дадим объяснение существование тета-блоков веса 2 и докажем для них указанную гипотезу. Основную роль в конструкции играет аффинная система корней A4 и произведения Борчердса для двойственной решетки модулярной A*4(5) определителя 125. Это наш новый совместный результат с H. Wang (Lille).


13.11.2017 начало в 18:00

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/Lille 1/IUF). Гипотеза о тета-блоках первого порядка. Часть 1: модулярные формы Зигеля.

Тета-блоки — специальные бесконечные произведения, являющиеся голоморфными формами Якоби. Эти объекты имеют отношения к теории чисел, теории автоморфных форм, алгебрам Ли, алгебраической геометрии и теории струн. Гипотеза о тета-блоках порядка 1 была сформулирована в статье Gritsenko, Poor, Yuen в 2013 году.

В двух докладах, 13 и 20 ноября, мы дадим решение этой проблемы в одном из самых интересных случаев, а именно, для форм Якоби минимального веса 2. В первом докладе мы дадим общих обзор, рассчитанный на всех слушателей немного знакомых с модулярными формами. Мы опишем формы Якоби, (пара)модулярные формы Зигеля рода 2, произведения Борчердса.

Второй доклад, 20 ноября 2017 года, — Гипотеза о тета-блоках порядка. Часть 2: аффинные и гиперболические системы корней типа A4, — будет посвящен теории произведений Борчердса и доказательству гипотезы о тета-блоках веса 2.


23.10.2017 начало в 18:00

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Расширение модулей и калибровочные линейные сигма-модели

Иногда пространства периодов (или параметров) разных геометрических объектов совпадают или вложены друг в друга матрёшкой благодаря связывающим конструкциям (якобиана, Куммеровой поверхности, итп). Например, можно собрать матрёшки из модулей шестёрок точек на P1, кривых рода 2, абелевых поверхностей, кубических поверхностей, поверхностей K3 и 4-мерных кубик. При таких расширениях модулей иногда получается обобщить формулировки известных теорем на большие классы объектов, но доказательства приходится придумывать новые. Об одном таком классе обобщений и доказательств я и расскажу. Этот класс является частным случаем мета-задачи: связать категорию пучков на многообразии модулей объектов в категории с исходной категорией. Для нахождения таких связей я рассмотрю чуть более общие геометрические данные так называемых калибровочных линейных сигма-моделей и их вариацию при изменении условия стабильности (поток ренормгруппы).


02.10.2017 начало в 18:00

Виктор Батырев (Тюбинген). Рефлексивные многогранники.

Платоновы тела дают самые известные примеры полярно двойственных пар многогранников: куб-октаэдр, икосаэдр-додэкаэдр. Комбинаторная зеркальная симметрия позволяет проинтерпретировать обнаруженную физиками зеркальную двойственность в арифметико-геометрических терминах, в которых двойственность рефлексивных многогранников играет важную роль.

Лекция мини-курса В.Батырева, посвященного комбинаторной зеркальной симметрии


25.09.2017 начало в 18:00

Виктор Батырев (Тюбинген). Торические многообразия.
Первая лекция мини-курса В.Батырева, посвященного комбинаторной зеркальной симметрии


18.09.2017 начало в 18:00

Василий Голышев (ИППИ/НИУ ВШЭ). Дифференциальные уравнения зеркальной симметрии

Я расскажу самые базовые вещи о дифференциальных уравнениях зеркальной симметрии. Специальных знаний не потребуется.


11.09.2017 начало в 18:00

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Виртуальные симметрии

Случается, что группа не может действовать на пространстве по тривиальным причинам, но многие её подгруппы могут действовать. А иногда ещё получается построить структуры и инварианты, которые были бы следствием действия полной группы, если бы оно существовало. Я опишу несколько конкретных примеров таких "виртуальных симметрий", и дам несколько возможных объяснений этого явления. Каждый из примеров и объяснений может послужить основой для самостоятельной исследовательской работы.


1.08.2017 начало в 18:00

P. Marcos Crichigno (Университет Амстердама). Twisted Compactifications and Black Hole Microstates (Скрученные компактификации и микросостояния чёрных дыр).

Given a superconformal field theory in a certain spacetime dimension, one may compactify it to lower dimensions by performing a partial topological twist, introduced by Witten. I will discuss universal features of these constructions and their AdS/CFT duals as black holes or branes in gauged supergravity. This perspective leads, as one particular application, to a counting of black hole microstates in AdS_4.


4.07.2017 начало в 18:00

Глеб Кошевой (ЦЭМИ). Комбинаторика канонических базисов и потенциалов.

Я расскажу о том, как используя комбинаторику канонического базиса Люстига, можно увидеть связь между потенциалом в модели Гивенталя для многообразия флагов и потенциалом Гросса-Хакинга-Кила-Концевича для базисного однородного пространства, и как написать функцию Уиттекера на кластерном языке.


4.07.2017  начало в 20:00

Выездное заседание в рамках летней математической школы Геометрия 2017 в ПОМИ (Фонтанка 27, Санкт-Петербург).

В. Спиридонов (ЛТФ ОИЯИ и НИУ ВШЭ), Эллиптическое гипергеометрическое уравнение.

Обычное гипергеометрическое уравнение - это дифференциальное уравнение второго порядка с тремя регулярными сингулярными точками. Оно решается в терминах 2F1 гипергеометрической функции Эйлера-Гаусса. Его эллиптическое обобщение представляет собой q-разностное уравнение второго порядка со специальными эллиптическими коэффициентами с модулярным параметром p. Оно решается в терминах эллиптического гипергеометрического интеграла с 7 свободными параметрами (в дополнение к p и q), обладающего W(E7) группой симметрии.

В. Гриценко (University of Lille1 and IUF, France, НИУ ВШЭ, Москва), Пространства модулей К3 поверхностей и модулярные формы.

K3 поверхности и их пространства модулей будут описаны в курсе лекций Миши Вербицкого на летней школе. В докладе мы расскажем, как можно изучать эти пространства модулей при помощи арифметических объектов, а именно, бесконечных автоморфных произведений Борчердса.


27.06.2017 начало в 18:00

Дарья Полякова (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия для эллиптических кривых (по Полищуку-Заслоу).

В этом докладе я расскажу работу Полищука и Заслоу о гомологической зеркальной симметрии для эллиптических кривых, а именно, я построю эквивалентность между категорией Фукаи двумерного тора с симплектической формой и производной категорией эллиптической кривой. Это уникальный случай, в котором эквивалентность можно описать явно, построив её на всех объектах и морфизмах. Ссылка на работу Полищука и Заслова (для матнета) - https://arxiv.org/abs/math/9801119


20.06.2017 начало в 18:00

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Свойство O для нечётных когомологий.

Гамма-гипотезы (сформулированные мной с Голышевым и Иритани) связывают асимптотики квантовой связности на когомологиях многообразия Фано с новым характеристическим классом в когомологиях, который называется гамма-классом и строится как класс Хирцебруха по гамма-функции Эйлера. Для того, чтобы первую гамма-гипотезу можно было хотя бы сформулировать, необходимо, чтобы выполнялось так называемое свойство О - некоторые ограничения на кратности собственных значений оператора квантового умножения на первый класс Черна, действующего на когомологиях (эти собственные значения также можно понимать как критические значения зеркальной модели Гинзбурга-Ландау). Гипотеза О утверждает, что свойство О выполнено для всех многообразий Фано. Я напомню формулировки свойства О и гамма-гипотезы, и объясню, как свойство О и первая гамма-гипотеза для тотальных когомологий следует из свойства О и первой гамма-гипотезы для чётных когомологий, с помощью аргумента, аналогичного аргументу Хертлинга-Манина-Телемана для полупростоты. Более того, достаточно знать, что свойство О выполнено на сумме (p,p)-циклов для какой-нибудь комплексной структуры. По мотивам совместной работы с Хироши Иритани "Gamma-conjecture via mirror symmetry", arXiv:1508.00719. Ссылки на работы (для матнета): Galkin-Golyshev-Iritani, https://arxiv.org/abs/1404.6407 Galkin-Iritani, https://arxiv.org/abs/1508.00719 Hertling-Manin-Teleman, https://arxiv.org/abs/0803.2769


13.06.2017 начало в 18:00

Антон Капустин (Caltech). Бозонизация в двух измерениях.

Хорошо известно, что любая система фермионов на одномерной решетке эквивалентна системе бозонов. Соответствующее операторное преобразование называется преобразованием Иордана-Вигнера. В докладе будет объяснено, как эта конструкция обобщается на случай двумерных систем. Это обобщение использует дискретные аналоги спиновых структур.


6.06.2017 18:00 - 19:00

Василий Болбачан (НИУ ВШЭ). Ортогональные модулярные формы для решетки E8.

В алгебраической геометрии известна рациональная модель десятимерного пространства модулей “E8-решетчато поляризованных” K3 поверхностей.
В докладе строится явно некоторое полиномиальное подкольцо с семью образующими (модулярные формы с весами 4, 10, 12, 16, 18, 22 и 24) градуированного кольца модулярных форм на ортогональной группе O(II(2,10)). В конце доклада мы сформулируем гипотезу о типе образующих всего кольца.


6.06.2017 19:00 - 20:00

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/ USTL/IUF). Ортогональные модулярные формы для башни решеток 0< D1 < D2<… <D7 < D8 < E8.

В докладе Василия Болбачана получены первые образующие градуированного кольца модулярных форм для унимодулярной решетки E8 по модулю теоремы о рациональности соответствующего модулярного многообразия. Используя рефлективные модулярные формы для башни решеток D1—D8, мы докажем, что существуют единственные модулярные формы весов 4, 6 и 8 относительно E8. Мы полагаем, что этот метод дает алгоритм построения (всех?) образующих колец модулярных форм для решеток башни D1—D8. Эта важная проблема, общая для алгебраической геометрии, теории инвариантов и теории автоморфных форм, уже обсуждалась на нашем семинаре в докладах Э. Б. Винберга (13.10.2015) и О.В. Шварцмана (10.11.2015).


23.05.2017 начало в 18:00

Анатолий Кириллов (University of Kyoto). Universal Dunkl operators: Algebra, Combinatorics, Graph Theory, Integrable Systems and LDT

I introduce certain noncommutative (inhomogeneous) quadratic algebra together with distinguished set of elements, called the (additive) Dunkl elements. The basic property of Dunkl elements is that they generate a commutative subalgebra inside of the noncommutative quadratic algebra we have introduced.

The main objective of our research concerning the quadratic algebra under consideration is to identify the commutative subalgebra generated by (additive) Dunkl elements with some well-known commutative algebras, such as Classical and Quantum Cohomology of certain varieties, algebras generated by integrals of motion of certain Integrable Systems, algebras associated with hyperplane arrangements, algebras associated with Low Dimensional Topology (LDT), and some others.


16.05.2017 начало в 18:00

Виктор Пржиялковский (МИАН/НИУ ВШЭ). Слои над бесконечностью моделей Ландау--Гинзбурга

Обычно моделью Ландау--Гинзбурга называется семейство компактных многообразий (Калаби--Яу) над аффинной прямой. Мы попробуем в свободной форме обсудить компактификации моделей Ландау--Гинзбурга для многообразий Фано до семейств над проективной прямой. Основное внимание будет уделено вклеиваемым слоям над бесконечностью, их свойствам и тому, какую информацию об исходном многообразии Фано они несут.


25.04.2017 начало в 18:00

Алексей Рослый (ИТЭФ, НИУ ВШЭ). Локализация в эквивариантных когомологиях: прошлый век

Эквивариантные когомологии родились для изучения когомологий фактор-пространств, а пригодились (в матфизике) как инструмент вычисления некоторых интегралов "по вычетам". Это произошло под влиянием теоремы Дюйстермаата-Хекмана, которая лучше всего понимается в контексте эквивариантных когомологий. Я постараюсь объяснить это следуя Атье и Ботту, которые дали общую формулу локализации: интеграл от эквивариантно-замкнутых форм выражен через сумму/интеграл по неподвижным точкам действия группы Ли. Новый импульс развитию таких методов придал Виттен. Для физиков формула локализации выглядит как утверждение о том, что в определенных случаях, когда в задаче имеется удобная симметрия, квазиклассическое приближение оказывается точным. Это подталкивает к применению рассуждений с эквивариантной локализацией в бесконечномерном случае, то есть в теории поля. Виттен предложил как сделать это удобнее, и при этом придумал новую версию локализации, которая интересна и в конечномерном варианте. Я попытаюсь объяснить смысл теоретико-полевых рассуждений, а также доказательство конечномерной формулы локализации Виттена, которое дали Джеффри и Кирван в 1993 г. Если это получится, будет ясно с чем, в плане "вычисления интегралов по вычетам", матфизика пришла к концу прошлого века. В наступившем веке последовало несколько важных применений формул локализации в теории поля, а также, как всегда, инфляционное развитие популярности этой темы, но об этом я уже не смогу рассказать.


18.04.2017 начало в 18:00

Марат Ровинский (НИУ ВШЭ, ИППИ). 0-циклы, линейные представления и полулинейные представления

Я расскажу, как некоторые вопросы о группах Чжоу 0-циклов сводятся к вопросам о дискретных представлениях некоторых вполне несвязных групп, и что можно сказать об ограничениях "интересных" представлений на "простейшие" подгруппы.

Вячеслав Спиридонов (ОИЯИ и НИУ ВШЭ). От многократных гамма-функций Барнса к эллиптическиой гипергеометрии

Обычные гипергеометрические функции, их q-аналоги и эллиптические обобщения соответствуют первым трем членам иерархии многократных дзета и гамма-функций Барнса. Я кратко опишу как устроены эллиптические гамма-функции в терминах функций Барнса и ряд их свойств. Основное внимание будет уделено эллиптическим гипергеометрическим интегралам и "эллиптическому преобразованию Фурье" с указанием их приложений в квантовой теории поля.


11.04.2017 начало в 18:00, ауд. 427

S. J. Bloch (UChicago), Introduction to motivic Tamagawa numbers

Совместное заседание с рабочим совещанием Motives, Periods and L-functions, 10.04-12.04.2017


4.04.2017 начало в 18:00, ауд. 427

Nicholas Shepherd-Barron (King’s College). The Schottky problem at the boundary, for curves and surfaces

The Schottky problem is that of describing the image of a moduli space under the period mapping. I shall describe some phenomena a the boundary of various moduli spaces, of curves and of surfaces; this extends earlier joint work with Codogni.

Совместное заседание с конференцией Birational geometry in positive characteristic


28.03.2017 начало в 18:00

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ) и Вячеслав Спиридонов (ОИЯИ и НИУ ВШЭ). Elliptic Hypergeometric Functions in Combinatorics, Integrable Systems and Physics (обзор материалов конференции в Вене)

Будет дан обзор тематики указанной конференции, проходившей 20-24 марта, и новых результатов, представленных на ней. Информация о конференции доступна на сайте


21.03.2017 

C 20 по 24 марта состоится выездное заседание семинара в Вене в рамках конференции Elliptic Hypergeometric Functions in Combinatorics, Integrable Systems and Physics с участием ряд сотрудников лаборатории и математического факультета ВШЭ.


14.03.2017 начало в 18:00

Виктор Пржиялковский (МИАН и НИУ ВШЭ). Эффективная зеркальная симметрия

Мы рассмотрим примеры эффективных вычислений и построений в зеркальной симметрии для многообразий Фано. Модель Ландау — Гинзбурга для многообразия Фано будет представлена просто многочленом Лорана (то есть функцией на комплексном торе), называемым торической моделью Ландау— Гинзбурга. Мы рассмотрим различные способы построения таких моделей и их свойства. В частности, мы обсудим единственность компактифицированных моделей Ландау — Гинзбурга в случае трехмерных многообразий Фано. Также мы обсудим компактификации моделей Ландау--Гинзбурга и их слои над бесконечностью. Наконец, мы обсудим числа Ходжа моделей Ландау--Гинзбурга и зеркальную симметрию для них.


7.03.2017 начало в 18:30

Иван Яковлев (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия и подсчет кривых (продолжение).

Симплектическое многообразие определяет триангулированную категорию, натянутую на лагранжевы подмногообразия. Концевич предложил рассматривать эту категорию с точностью до производной эквивалентности. Производная категория Фукая содержит большое количество геометрической информации, но вычислить ее все равно очень трудно. Недавно Ганатра доказал следующий результат: каждая гладкая подкатегория категории Фукая порождает ее (при соблюдение некоторого дополнительного технического условия). Это позволяет объяснить связь гомологической зеркальной симметрии с исчислительной и описать категорию во многих случаях. В частности, теорема Шеридана утверждает гомологическую зеркальную симметрию для Фано и Калаби-Яу гиперповерхностей и проективных пространств.

В докладе я хочу рассказать о том, в какой общности определена категория Фукая, и дать настоящее определение. После этого я хочу рассказать о теореме Ганатры и об ее следствиях.


28.02.2017 начало в 18:30

Иван Яковлев (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия и подсчет кривых.

В теории струн было предсказано число кривых на трехмерной квинтике X (Candelas, de la Ossa, Green, Parkes, 1991). Инварианты Громова-Виттена X совпадают с периодами голоморфных форм на комплексном многообразии Y – «зеркале» X. Равенство производящих функций для периодов и инвариантов Громова-Виттена физики назвали зеркальной симметрией. Позднее Концевич ввел понятие гомологической зеркальной симметрии: равенство производной категории Фукая симплектического многообразия X и производной категории когерентных пучков комплексного «зеркала» Y. Это сложное утверждение, на первый взгляд не связанное с подсчетом кривых. Гипотеза о квинтике 1991 г. была строго обоснована Гивенталем через пять лет. Еще через двадцать лет этот результат передоказал Шеридан. В своей диссертации он продемонстрировал гомологическую зеркальную симметрию для квинтики и, в соавторстве с Ганатрой и Перутцом, вывел зеркальную симметрию из гомологической версии.
Я постараюсь рассказать теорему Шеридана, по дороге разрекламировав зеркальную симметрию, категорию Фукая и все, что с этим связано.


21.02.2017

Валерий Гриценко (ВШЭ / Laboratoire Painleve, Lille / IUF). Что есть точные формулы?.

Известно большое число точных формул для тeта-функций: Эйлер, Гаусс, Якоби, Риман, …, книга Мамфорда “Tata lectures on Theta”. В докладе мы рассмотрим этот сюжет теории эллиптических функций с точки зрения модулярных форм Якоби. Такая интерпретация вводит в оборот новые объекты. Мы обсудим:
1) новые тождества между бесконечными произведениями и суммами, в частности, обобщения формулы Якоби о представлении восемью квадратами (1829);
2) обобщения тета-соотношений Римана;
3) явные тета-выражения для образующих целочисленного биградуированного кольца слабых форм Якоби всех целых весов.
Последнее кольцо, имеющее 14 образующих, является естественным “целевым” кольцом в теории эллиптических когомологий (см. известную статью Totaro, arXiv:math/0003240), обобщенных эллиптических родов (Gritsenko, arXiv:math/9906191) и появляется в теории струн. Мы опишем целочисленное кручение этого кольца и предлагаем вам дать его топологическую интерпретацию. Для понимания доклада достаточно знать определение нечетной тета-функции Якоби и (желательно) ℘-функции Вейерштрасса. Полученные результаты — первый шаг в решении аналогичных проблем в случае многих абелевых переменных.


14.02.2017

Артём Приходько (ВШЭ). Построение рода Виттена через деформационное квантование (продолжение).

В прошлый раз мы наметили общую схему построения рода Виттена и определили классическую теорию поля. В этот раз мы обсудим её квантование и увидим как из этого получается форма объёма на производном пространстве петель, интеграл по которой и даёт род Виттена.


7.02.2017

В. Голышев. Числа Бернулли, сравнения Рамануджана и теорема Милнора-Кервера.

Цель доклада - напомнить слушателям некоторые классические факты о числах Бернулли.

А. Городенцев. Лямбда-кольца, бета-кольца и когомотопии.

Мы завершим обсуждение работы P. Guillot `Adams operations in cohomotopy'


31.01.2017

Вячеслав Спиридонов. (НИУ ВШЭ / ЛТФ ОИЯИ, Дубна). Суперконформные индексы 2- и 4-мерных теорий поля и эллиптический род.

Термин суперконформный индекс был введен около 2005 г., когда выяснилось, что в четырехмерных суперсимметричных теориях поля существует объект, обобщающий индекс Виттена, который можно точно вычислить. Для двумерных суперконформных теорий ранее вводился аналогичный объект, называемый эллиптическим родом. С наивной аналитической точки зрения структура соответствующих функций сильно отличается (в d=2 это формы Якоби, а в d=4 это эллиптические гипергеометрические интегралы). Однако, полученные недавно интегральное представления для эллиптического рода показывают, что они являются специальными случаями упомянутых эллиптических гипергеометрических интегралов. В докладе будет представлен качественный обзор соответствующих результатов.


24.01.2017

Артём Приходько (ВШЭ). Построение рода Виттена через деформационное квантование.

По любой эллиптической кривой над C можно построить эллиптическую комплексно-ориентированную обобщённую теорию когомологий. С любой такой теорией стандартной процедуой связан C-значный род Хирцебруха. Род Виттена - это в некотором смысле универсальный эллиптический род. Он был определён (используя физические аргументы) в статье "E. Witten, Elliptic genera and quantum field theory" как суперконформный индекс в некоторой двумерной теории поля. В статье "A geometric construction of the Witten genus II" в качестве приложение развитого им подхода к теориям поля Кэвин Костелло приводит строгое математическое обоснование определения Виттена. Нужная теория поля для многообразия X получается деформационным кантованием классической теории построенной по (производному) пространству отображений из эллиптической кривой в T* X. В своём докладе я расскажу этот подход Костелло.


17.01.2017

Вячеслав Никулин (МИАН). Арифметическая зеркальная симметрия и лоренцевы (автоморфные) алгебры Каца-Муди.

Следуя нашей последней статье с В.А. Гриценко (см. arXiv:1602.08359), будет рассказано про арифметическую зеркальную симметрию для решеточно-поляризованных К3-поверхностей, связанную с гиперболическими алгебрами Каца--Муди и автоморфными формами.


10.01.2017

Сергей Галкин (ВШЭ). Зеркальная симметрия и автоморфные формы для некоторых гиперкелеровых многообразий.

Я расскажу про зеркальную симметрию между некоторыми гиперкелеровыми многообразиями. В частности, про случай многообразий Бовилля-Донаги прямых на 4-мерной кубике. Вычисленные инварианты типа А являются модулярными формами для классических конгруэнц-подгрупп. Это наводит на мысль, что зеркально-двойственные однопараметрические семейства гиперкелеровых многообразий изогенны степеням эллиптической кривой.


27.12.2016

Артем Калмыков (ВШЭ). Зеркальная симметрия для абелевых многообразий.

Теорема Гивенталя связывает две формальные функции: J-функцию, считающую рациональные кривые на многообразии, и I-функцию, строящуюся по вееру торического многообразия и (потенциально) описывающую зеркальное семейство. К сожалению, она работает только для полных пересечений в торических многообразиях, однако благодаря недавним результатам Ciocan-Fontanine--Kim--Sabbah ее можно обобщить до чуть более широкого класса многообразий. Например, с помощью их конструкции можно получить (нетривиальную) J-функцию для некоторых абелевых многообразий. В докладе я планирую рассказать, как по этой функции получаются модулярные формы, по которым строится семейство абелевых многообразий, и почему это семейство можно назвать зеркальным.


20.12.2016

1) Андрей Илюхин. Дискриминантные гиперповерхности в теории особенностей.

При изучении особенностей голоморфных функций естественно возникают версальные деформации (специальные семейства функций) и их дискриминантные гиперповерхности. Хорошо известно, что для простых особенностей (ABCDEF) эти гиперповерхности объемлемо биголоморфны дискриминантам групп Вейля одноимённых систем корней. Для следующих по сложности особенностей — унимодальных — должно быть нечто похожее с участием гиперболических групп отражений. Планируется рассмотреть разрешения некоторых локусов дискриминантных гиперповерхностей, вскрывающие любопытные (для простых особенностей) и очень интересные (для унимодальных) симметрии между классами особенностей. (В случае простых особенностей эти симметрии объясняются симметриям систем корней.) Никаких предварительных знаний не предполагается, необходимые сведения из теории особенностей будут сообщены слушателям.

2) Валерий Гриценко (Лаборатория Пенлеве и IUF, Лилль/ ВШЭ). Рефлективные модулярные формы и исключительные особенности Арнольда.

Будут построены автоморфные дискриминанты девяти исключительных особенностей Арнольда. Для трех особенностей эти функции были построены в препринте Гриценко и Никулина Lorentzian Kac-Moody algebras with Weyl groups of 2-reflections ( arXiv:1602.08359, 75 стр.) как формулы знаменателя Лоренцевых алгебр Каца-Муди гиперболических рангов 7, 8 и 9. В докладе мы докажем новую теорему, которая дает дискриминанты по-крайней мере девяти исключительных особенностей из четырнадцати.


13.12.2016

Валерий Гриценко (Лаборатория Пенлеве и IUF, Лилль/ВШЭ). Структура градуированнoго кольца слабых форм Якоби и “эллиптизация” многочленов Ходжа алгебраических многообразий.

Формы Якоби индекса 1 для приводимой системы корней 2A_1=A_1+A_1 ранга 2 уже появлялись на нашем семинаре в докладе Дениса Терешкина в связи с эллиптизацией полинома Ходжа поверхности К3. Формам Якоби типа A_n был посвящен предыдущий доклад Димы Адлера. Биградуированное кольцо слабых форм Якоби типа 2A_1 от двух абелевых переменных устроено много проще, чем в случае неприводимых систем корней А_n. Однако простейшая приводимая система корней достаточно интересна с автоморфной точки зрения, т.к. она позволяет по другому доказывать классические формулы из теории абелевых функций (например, формулу сложения для функции Вейерштрасса). Основной результат доклада — описание структуры градуированного кольца J_{0,*}(Z) слабых симметричных форм Якоби типа 2A_1 веса 0 с целыми коэффициентами. Гипотетически, в этом кольце будут лежать возможные эллиптизации многочленов Ходжа некоторых комплексных многообразий. Напомним, что для y-рода Хирцебруха многообразий с тривиальным первым классом Черна эллиптический род является обычной слабой формой Якоби веса 0 типа Загира-Эйхлера (тип A_1).


6.12.2016

Дмитрий Адлер (ВШЭ). Формы Якоби и системы корней

Как известно, для каждой решётки с определённым на ней скалярным произведением можно определить понятие форм Якоби. В 1992 году К. Виртмюллер показал, что для решёток, построенных по классическим системам корней (кроме $E_8$), соответствующее пространство форм Якоби является свободной алгеброй над кольцом модулярных форм. Однако доказательство К. Виртмюллера весьма громоздкое и, вероятно, может содержать некоторые пробелы. В своём докладе я докажу теорему в случае систем корней $A_n$, используя метод автоморфной коррекции.

 

Архив 2015-2016


 

Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!