• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Автоморфные формы и их приложения

В 2015 году начал работу на факультете математики ВШЭ как совместный еженедельный семинар Лаборатории алгебраической геометрии, Лаборатории Понселе (Laboratoire J.-V.Poncelet, CNRS) и Независимого Московского Университета. С декабря 2016 года семинар продолжил свою работу на факультете на базе Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм, сохраняя контакты со всеми упомянутыми математическими организациями.

Организаторы: Валерий ГриценкоВячеслав Спиридонов
Место: факультет математики ВШЭ, ул.Усачева, дом 6, ауд. 306 
Время: вторник, 18:00-20:00.

Видеозаписи докладов

 

Доклады: 

Нажмите на название доклада, чтобы развернуть (или свернуть) его аннотацию

19.12.2023 начало в 18:10

Дмитрий Адлер (ММИ им. Л. Эйлера, Санкт-Петербург)

Дифференциальные уравнения на формы Якоби для систем корней 

В нашей недавней совместной статье с В.А. Гриценко мы изучали дифференциальные уравнения на формы Якоби для системы корней A_1. В своем докладе я расскажу о новых результатах, связанных с обобщением данного метода на случай систем корней типа D_n. А именно, я приведу алгоритм построения дифференциальных уравнений на образующие индекса 1 алгебр слабых форм Якоби для систем корней D_n, а также рассмотрю аномальные уравнения, которые возникают для некоторых специальных n. Помимо этого планируется обсудить возможные приложения и дальнейшие направления в исследовании данных конструкций.

12.12.2023 начало в 18:10

Вячеслав Спиридонов (ОИЯИ, НИУ ВШЭ)

"Специальные функции гипергеометрического типа" 

Будет дан краткий обзор специальных функций гипергеометрического типа, начиная с многократной дзета-функции Барнса. Помимо этого, будет описан общая схема подкласса таких функций, обладающих явными формулами ортогональности или биортогональности, обобщающая схему Аски-Вильсона.

Тимофей  Федоров (НИУ ВШЭ)
"Автоморфные функции, связанные с отображениями Кристоффеля-Шварца" 

Теорема Кристоффеля-Шварца дает формулу для отображения верхней полуплоскости H на произвольный многоугольник P; есть также обобщение этой теоремы на случай многоугольников, ограниченных дугами окружностей. В некоторых случаях обратное отображение из P в H можно продолжить до мероморфной функции на всей плоскости; такие функции будут автоморфными относительно некоторой группы. В докладе будут рассмотрены условия существования таких продолжений, а также примеры получающихся функций и групп для четырехугольников и треугольников. Формула Кристоффеля-Шварца имеет множество приложений в физике: в докладе будет приведена пара примеров ее использования в электростатике и гидродинамике.


05.12.2023
 начало в 18:10

Петр Кучерявый (НИУ ВШЭ)
"Арифметические свойства числа разбиений: сравнения Рамануджана" 

Пусть p(n) — число разбиений числа n. Сриниваса Рамануджан открыл тождества p(5n + 4) = 0 mod 5, p(7n + 5) = 0 mod 7, p(11n + 6) = 0 mod 11. Сравнением Рамануджана по простому модулю q назовем тождество вида p(qn + b) = 0 mod q, где b — фиксированное целое число. Модулярные формы раскладываются в ряд Фурье. Если коэффициенты ряда рациональные и знаменатели коэффициентов не делятся на простое q, то мы получим формальный степенной ряд с коэффициентами в Z/qZ. Мы обсудим некоторые свойства таких рядов и затем, следуя работе Скотта Альгрена и Мэтью Бойлана "Arithmetic properties of the partition function" 2003 года, докажем, что не бывает сравнений Рамануджана, кроме перечисленных трех.

Валерий Лунц (НИУ ВШЭ, университет Индианы)

"Числа Каталана в комбинаторике и геометрии" 

Я расскажу про новые формулы для чисел Каталана, которые были получены в совместной работе с Spela Spenko и Michel Van den Bergh. Мы также применили наши комбинаторные разультаты к геометрии некоммутативных схем Гильберта.

21.11.2023 начало в 18:10

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ, Университет Лилля)
"Тета-фунции Зигеля рода n квадратичных форм ранга m 

В докладе Ивана Пуцева о гипотезе Бернштейна-Шварцмана появились тета-функции Зигеля рода 3 и их специализации. Мы покажем, что общая тета-функция Зигеля рода n квадратичной формы ранга m с произвольной рациональной характеристикой может быть получена специализацией универсальной тета-функции Эйхлера-Зигеля рода mn. Это даст общее функциональное модулярное уравнение тета-функции Зигеля рода n положительно определенной четной целочисленной квадратичной формы ранга m относительно конгруэнц-подгруппы типа Гекке модулярной группы Зигеля.

14.11.2023 начало в 18:10

Иван Пуцев (НИУ ВШЭ)
"Гипотеза Бернштейна-Шварцмана"-II 

Согласно гипотезе Бернштейна-Шварцмана, фактор комплексного аффинного пространства по действию неприводимой комплексной кристаллографической группы, порожденной отражениями, есть взвешенное проективное пространство. В докладе будет дан  краткий обзор результатов, связанных с этой гипотезой, разобрано устройство одного такого фактора в размерности 2, а так же план доказательства этой гипотезы для некоторых случаев в размерности 3, использующего тета-функции.

07.11.2023  начало в 18:10

Иван Пуцев (НИУ ВШЭ)
"Гипотеза Бернштейна-Шварцмана" 

Согласно гипотезе Бернштейна-Шварцмана, фактор комплексного аффинного пространства по действию неприводимой комплексной кристаллографической группы, порожденной отражениями, есть взвешенное проективное пространство. В докладе будет дан  краткий обзор результатов, связанных с этой гипотезой, разобрано устройство одного такого фактора в размерности 2, а так же план доказательства этой гипотезы для некоторых случаев в размерности 3, использующего тета-функции.

31.10.2023 начало в 18:10

Андрей Левин (НИУ ВШЭ)
"Полилогарифмы и вокруг-II" 

Во втором докладе будут рассмотрены кратные полилогарифмы и эллиптические полилогарифмы, а также обсудим мистическую связь соотношений между кратными дзета-значениями и модулярными формами.

24.10.2023 начало в 18:10

Андрей Левин (НИУ ВШЭ)
"Полилогарифмы и вокруг" 

В докладе я постараюсь как можно точнее определить все виды полилогарифмов с отступлениями о приложениях в разных областях математики, а также сформулировать простейшие свойства.

17.10.2023  начало в 18:10  
Василий Болбачан (НИУ ВШЭ/Сколтех)
"Дзета функция вполне вещественного поля"-II

Знаменитая формула Эйлера утверждает что значение дзета-функции Римана в точке 2 равно \pi^2/6. Я хочу рассказать о теореме Зигеля-Клингена, которая обобщает этот результат на произволное вполне вещественное числовое поле(=конечное расширение \mathbb Q, не имеющее нетривиальных вложений в \mathbb C). Мы построим некоторую явную модулярную форму относительно SL(2, \mathbb Z) со следующим свойством: ее нулевой коэффициент разложения в ряд Фурье будет равен значению дзета-функции, деленному на степень \pi, а все остальные будут рациональны. Далее результат будет следовать из классификации модулярных форм.

10.10.2023  начало в 18:10
Василий Болбачан (НИУ ВШЭ/Сколтех)
"Дзета функция вполне вещественного поля"

Знаменитая формула Эйлера утверждает что значение дзета-функции Римана в точке 2 равно \pi^2/6. Я хочу рассказать о теореме Зигеля-Клингена, которая обобщает этот результат на произволное вполне вещественное числовое поле(=конечное расширение \mathbb Q, не имеющее нетривиальных вложений в \mathbb C). Мы построим некоторую явную модулярную форму относительно SL(2, \mathbb Z) со следующим свойством: ее нулевой коэффициент разложения в ряд Фурье будет равен значению дзета-функции, деленному на степень \pi, а все остальные будут рациональны. Далее результат будет следовать из классификации модулярных форм.

03.10.2023  начало в 18:00

Александр Калмынин  (НИУ ВШЭ)

Иррациональность ζ(3), часть 2: автоморфное доказательство Бёйкерса

В данном докладе мы обсудим основные понятия и результаты, нужные для понимания модулярного доказательства иррациональности ζ(3), принадлежащего Ф. Бёйкерсу. Мы поговорим о действии дискретных подгрупп SL(2,R) на верхнюю полуплоскость, об SL(2,Z) и конгруэнц-подгруппах, дадим определения модулярных функций и модулярных форм. Также для конкретных случаев, нужных в доказательстве, мы построим порождающий элемент поля модулярных функций и опишем явно пространства модулярных форм фиксированного веса. Кроме того, в докладе возникнут L-функции модулярных форм.

26.09.2023  начало в 18:00

Александр Калмынин  (НИУ ВШЭ)
Иррациональность

Хорошо известно, что значения дзета-функции Римана в положительных чётных точках выражаются с рациональными коэффициентами через степени числа \uD835\uDF0B. В частности, из теоремы Линдемана-Вейерштрасса следует трансцендентность ζ(2n) для всех n>0. Напротив, для значений дзеты в нечетных натуральных точках мало известно даже про иррациональность. Особняком среди известных результатов стоит теорема Апери, которая показывает, что число ζ(3) иррационально. Мы обсудим доказательство теоремы Апери, его вариации и упрощения, а также связь с дифференциальными уравнениями и модулярными формами.

27.12.2022   начало в 18:00

Вячеслав Спиридонов  (НИУ ВШЭ, ЛТФ ОИЯИ)

Бесконечные эллиптические гипергеометрические ряды:  сходимость и разностные уравнения 

Классические обычные гипергеометрические функции и их q-аналоги широко используются в математике и теоретической физике. Эллиптические гипергеометрические функции, открытые около 2000 г., являются самыми общими известными специальными функциями гипергеометрического типа и они также нашли множество приложений. В общем случае эти функции строго определяются интегральными представлениями, так как вопрос о сходимости бесконечных эллиптических гипергеометрических рядов до сих пор не решен. Во вводной части доклада будет описана общая структура гипергеометрических рядов и интегралов всех типов. Далее будут представлены конечно-разностные уравнения бесконечного порядка, которым удовлетворяют формальные бесконечные эллиптические гипергеометрические ряды. Также будет описан специальный выбор параметров этих рядов, при котором они сходятся с конечным радиусом сходимости. В частности, будет представлено обобщение критерия Харди и Литтлвуда о сходимости q-гипергеометрических рядов при |q|=1, c q не равном корню единицы, на эллиптический случай. Доклад основан на совместной работе с Д.И. Кротковым.

13.12.2022  начало в 18:00

Степан Оревков (МИАН,  Университет Тулузы)
Ортогональные многочлены и операторы диффузии 

Доклад посвящен следующей задаче, которую поставил Доминик Бакри: описать все тройки (D,L,\mu), где D -- область в R^n, L -- эллиптический дифференциальный оператор второго порядка и \mu -- вероятностная мера, такие, что в L^2(D,\mu) есть ортогональный базис, состоящий из многочленов, являющихся собственными функциями оператора L, причем этот базис согласован с фильтрацией по степени (вариант: по взвешенной степени).   Будет рассказано решение этой задачи в размерности 2, полученное с использованием формул типа Плюккера для проективной двойственности, а также будут приведены некоторые частичные результаты в размерности 3.

29.11.2022  начало в 18:00

Пётр Кучерявый (МЛЗС НИУ ВШЭ)
Число классов квадратичных форм положительного дискриминанта 

Мы обсудим связь между средним значением числа классов квадратичных форм положительного дискриминанта, упорядоченных по возрастанию соответствующих фундаментальных единиц и количеством замкнутых геодезических ограниченной длины на гиперболическом многообразии. Кроме того, мы сформулируем аналог теоремы Чеботарёва о плотности для геодезических.

22.11.2022  начало в 18:00

Александр Калмынин (МЛЗС НИУ ВШЭ)
Вокруг теоремы Нестеренко

 В своем прошлом докладе я в общих чертах объяснил доказательство теоремы Ю.В. Нестеренко об алгебраической независимости значений рядов Эйзенштейна и вывел из неё большое количество следствий, некоторые из которых являются решениями классических задач теории трансцендентности. В этот раз мы подробнее обсудим доказательства этих следствий, а также поговорим о других приложениях данного результата. Например, оказывается, что из теоремы Нестеренко можно извлечь информацию о "дзета-функции Фибоначчи" и нулях модулярных форм.

15.11.2022  начало в 18:00

Валерий Гриценко  (МЛЗС НИУ ВШЭ)

Модули поляризованных гиперкэлеровых многообразий типа Kum^n и игра в суммы квадратов

Это заключительная пятая лекция в серии докладов "Модули гиперкэлеровых многообразий типа Kum^n и автоморфные формы".  Мы покажем как строить канонические дифференциальные формы на пространствах модулей многообразий типа Kum^n(A) с расщепимой поляризацией степени 2d для очень большого класса пар (n, d). Это принципиально новые результаты в данной области.
Известны два бесконечных семейства гиперкэлеровых многообразий типа Hilb^n(S) и Kum^n(A), где S и А - К3 и абелевая поверхности соответственно. Примеры полных 20-мерных семейств поляризованных многообразий типа Hilb^2(S) были построены в работах C. Voisin, O. Debarre, K. O'Grady и др. Общий тип модулей многообразий типа Hilb^2(S) с расщепимой поляризацией степени 2d с d>12 установлен в серии статей V. Gritsenko, K. Hulek и G. Sankaran в Inventiones Math. (2007), Compositio Math. (2010), J. of Dif. Geom. (2011). См. итоговый обзор Moduli spaces of K3 surfaces and holomorphic symplectic varieties, “Handbook of Moduli”, vol. 1 (2012), 459–526. Построение проективных гиперкэлеровых многообразий типа Kum^n(A) является трудной задачей. Неизвестно ни одного примера полного 4-х мерного семейства поляризованных многообразий данного типа и не имеется никаких безусловных результатов о геометрическом типе их модулей. Основными автоморфными инструментами построения (4,0)-форм на данных 4-х мерных пространствах модулей являются конструкции, изложенные в предыдущих четырех лекциях: тета-блоки, Gritsenko's lifting и D_8-модель автоморфного дискриминанта пространств модулей поверхностей Энриквеса. Важную роль играет также арифметика сумм квадратов натуральных чисел.

01.11.2022  начало в 18:00

Валерий Гриценко  (МЛЗС НИУ ВШЭ)

Автоморфный дискриминант модулей поверхностей Энриквеса 

Это четвертый доклад автора из серии "Модули гиперкэлеровых многообразий типа Kum^n и автоморфные формы".
В этой лекции мы обобщим метод подъема на формы Якоби от нескольких абелевых переменных. В качестве примеров мы построим "простейшую" модулярную форму относительно ортогональной группы четной унимодулярной квадратичной решетки сигнатуры (2,10) и автоморфный дискриминант веса 4 пространства модулей поверхностей Энриквеса. Он строится по прямому произведению восьми тета-функций Якоби, которое отвечает орбите минимальных весов (minuscule orbite) решетки D_8.
Детали можно найти в V. Gritsenko, Reflective modular forms and applications. Russian Math. Surveys 73:5 (2018), 797–864. 

25.10.2022  начало в 18:00

Валерий Гриценко  (МЛЗС НИУ ВШЭ)
Явная конструкция модулярных форм Зигеля: Gritsenko's lifting

Это третий доклад из серии "Модули гиперкэлеровых многообразий типа Kum^n и автоморфные формы".
В лекции мы разберeм явные конструкции арифметического подъема форм Якоби. Первый пример - "тривиальный" подъем тета-функции Якоби до тета-фунции Зигеля - использует "тривиальный" формальный ряд операторов Гекке для полугруппы натуральных чисел. Конструкция канонических дифференциальных форм на Зигелевых 3-фолдах использует формальный ряд SL_2-операторов Гекке для параболической подгруппы, т.е., группы Якоби.
Mы также обсудим важные для нашей темы расширения парамодулярной группы, которые дают переход от пространства модулей поляризованных абелевых поверхностей к модулям поверхностей Куммера.

18.10.2022  начало в 18:00
Валерий Гриценко  (МЛЗС НИУ ВШЭ)

Тета-кварки и модулярные многообразия размерности 3

Это вторая лекция цикла "Модули гиперкэлеровых многообразий типа Kum^n и автоморфные формы". Мы опишем парамодулярную группу Зигеля, ее коммутатор и максимальное дискретное расширение. Далее представим авторский подход к формам Якоби как модулярным формам относительно параболической подгруппы модулярной группы Зигеля. Мы докажем голоморфность в бесконечности тета-кварков, - специальных тета-блоков веса 1, играющих важную роль в геометрических приложениях. Три различные конструкции тета-кварков изложены в V. Gritsenko, N.-P. Skoruppa, D. Zagier, Theta-blocks, arXiv:1907.00188 (2019), 57 pp. Тета-кварки позволяют строить парамодулярные формы Зигеля веса 3 с явно вычисляемыми дивизорами (modular Humbert surfaces), в частности, канонические дифференциальные формы и канонические дивизоры пространств модулей поляризованных абелевых поверхностей. Факт наличия произведения Борчердса у таких парамодулярных форм веса 3 является частным случаем the theta-block conjecture, see V. Gritsenko, C. Poor, D. Yuen, Borcherds products everywhere, J. Number Theory 148 (2015), 164–195.

11.10.2022  начало в 18:00
Валерий Гриценко  (МЛЗС НИУ ВШЭ)
Тета-блоки или конструктивная теория модулярных форм Якоби

Это первая лекция из серии "Модули гиперкэлеровых многообразий типа Kum^n и автоморфные формы". 
Лекция спланирована как конструктивное введение в теорию модулярных форм Якоби. Идея построения тета-блоков была предложена автором для построения парамодулярных форм Зигеля канонического веса 3. Теория тета-блоков изложена в препринте V. Gritsenko, N.-P. Skoruppa, D. Zagier, Theta-blocks, arXiv:1907.00188, 57 pp.(2019), но простейшие примеры и первые приложения тета-блоков к алгебраической геометрии были приведены в статье V. Gritsenko, K. Hulek, Commutator coverings of Siegel modular threefolds, Duke Math.J. 94, 509–542. 
В докладе мы объясним простейшие конструкции тета-блоков малых весов, которые потребуются для построения канонических дифференциальных форм на четырехмерных модулярных многообразиях.
P.S. Для студентов, которые интересуются данной тематикой. На сайте Вышки стоит спецкурс В. Гриценко для дипломников "Jacobi modular forms: 30 ans après":  https://online.hse.ru/enrol/index.php?id=5621 ,  который был прочитан на платформе Coursera.
Студенты могут прослушать и сдать этот спецкурс с получением учебного кредита.

04.10.2022 начало в  18:00
Александр Калмынин (МЛЗС НИУ ВШЭ)
Модулярность в теории трансцендентности

Дифференциальные уравнения играют важную роль в доказательствах трансцендентности и алгебраической независимости. С другой стороны, модулярные функции одновременно удовлетворяют таким уравнениям и принимают интересные значения в некоторых точках. Данное замечание приводит к знаменитому результату Ю.В. Нестеренко об алгебраической независимости π, e^π и Г(1/4). Мы поговорим о доказательстве этого утверждения, опирающемся на систему дифференциальных уравнений для рядов Эйзенштейна.

27.09.2022 начало в  18:00
Валерий Гриценко  (МЛЗС НИУ ВШЭ) 
Модулярные дифференциальные уравнения эллиптического рода многообразий Калаби-Яу

Эллиптический род многообразия Калаби-Яу размерности d является модулярной формой Якоби веса 0 и индекса d/2. Нечетная тета-функция Якоби есть голоморфная форма Якоби веса 1/2 и индекса 1/2. Она лежит в ядре оператора теплопроводности. В докладе будет доказано, что эллиптический род трехмерного многообразия Калаби-Яу удовлетворяет дифференциальному уравнению первой степени относительно оператора теплопроводности. Для поверхности К3 и для пятимерных многообразий Калаби-Яу дифференциальное уравнение эллиптического рода имеет степень 3. В докладе будут представлены и другие результаты, в частности, предложены двумерные аналоги дифференциального уравнения Канеко-Загира порядка 2. См. нашу последнюю статью с Дмитрием Адлером: arXiv:2209.00038.

26.05.2022 начало в 18:00

Александр Калмынин (МЛЗС НИУ ВШЭ) предзащита кандидатской диссертации
Значения арифметических функций в коротких интервалах и случайные мультипликативные функции.

Одна из самых известных нерешенных задач о числах, представимых в виде суммы двух квадратов — улучшение элементарной оценки Эйлера для промежутков между такими числами (см. также работу Р.П. Бамбы и С. Чоулы (1946)). Вариант ослабления данной задачи — вопрос о величине степенных моментов промежутков. Правильные по порядку оценки были получены К. Хооли (1971) и В. А. Плаксиным (1988) для порядков моментов a<5/3 и a<2 соответственно и опирались на результаты о суммах Клоостермана и аддитивных задачах с суммами квадратов. В диссертации, выдвинутой на предзащиту, представлен другой подход к изучению сумм двух квадратов в коротких интервалах, использующий функции Бесселя и ряды Коэна-Кузнецова. Также найдена связь между задачей Эйлера и распределением "малых" квадратичных вычетов. Кроме того, показано существование бесконечного множества простых чисел, для которых множество квадратичных вычетов не обладает свойствами случайного множества в смысле работы С.В. Конягина и И.Д. Шкредова об аддитивных свойствах случайных подмножеств в абелевых группах (2018). Данный результат использует классические результаты о нулях L-функций и гладких числах. В последней части диссертации рассмотрена экстремальная ситуация неслучайности квадратичных вычетов, а именно изучено множество таких простых чисел p, что все частичные суммы символа Лежандра по модулю p неотрицательны. Данное множество было изучено Р. Бейкером и Х. Монтгомери в контексте положительности многочленов Фекете (1990), а также П. Борвейном, С. Чхве и М. Кунсом (2010). Для относительной плотности данного множества получена явная верхняя оценка, доказательство опирается на результаты А. Харпера (2013) о случайных мультипликативных функциях.

11.10.2021 начало в 18:00

Александр Калмынин (МЛЗС НИУ ВШЭ)
Кубические гауссовы суммы.

Свойства кубических сумм Гаусса тесно связаны с арифметикой циклотомических полей, например, с кубическими характерами Дирихле и значениями их L-функций. Статистические вопросы о поведении аргументов таких сумм изучались Куммером, который высказал гипотезу об их неравномерном распределении. Мы обсудим опровержения гипотезы Куммера и их связь с теорией модулярных форм, а также недавний результат А. Данна и М. Радзивилла, показывающий наличие положительного смещения в кубических суммах Гаусса.

27.09.2021 начало в 18:00

Вячеслав Спиридонов (МЛЗС НИУ ВШЭ и Лаборатория теоретической физики ОИЯИ)
Автоморфизмы алгебры Гейзенберга-Вейля и суммы Гаусса.

Описываются автоморфизмы алгебры Гейзенберга-Вейля, связанные с преобразованием Фурье и его обобщением, называемым дробным преобразованием Фурье. Исследуются собственные функции понижающего оператора этой алгебры, известные как когерентные состояния квантового гармонического осциллятора. Показано, что указанные автоморфизмы порождают когерентные состояния, задаваемые конечной  суперпозицией изначальных состояний, а коэффициенты суперпозиции определяются общими квадратичными суммами Гаусса и точно вычисляются.

20.09.2021 начало в 18:00 

Валерий Гриценко (МЛЗС НИУ ВШЭ)
Приложения автоморфных форм в алгебраической геометрии.

Для исследования геометрии модулярных многообразий ортогонального типа нами был разработан достаточно общий и эффективный автоморфный метод. При помощи рефлективных автоморфных форм на группе O(2,n) можно доказать, что модулярное многообразие имеет общий тип. Одно из главных приложений этого метода -- решение последнего открытого вопроса программы А. Вейля 1957 года о модулях K3 поверхностей. Из других применений отметим доказательство общего типа пространств модулей поляризованных гиперкэлеровых многообразий типа K3^2 и 10-мерных многообразий О'Грэди. Кроме того, мы рассматриваем приложение теории тета-блоков к задаче о пространствах модулей (1, t)-поляризованных Абелевых поверхностей и соответствующих им Куммеровых поверхностей. Доказательства используют теорию особенностей, тороидальную компактификацию модулярных многообразий ортогонального типа, модулярные формы на неопределенной ортогональной группе O(2, n), автоморфные произведения Борчердса в форме Гриценко-Никулина и арифметическую теорию квадратичных форм.

26.03.2021 начало в 17:00 online

Внеочередное заседание семинара "Автоморфные формы и их приложения"  - предзащита кандидатской диссертации Дмитрия Адлера (МЛЗС НИУ ВШЭ)
"Формы Якоби многих переменных и их приложения"


Классическая теорема Шевалле утверждает, что алгебра многочленов, инвариантных относительно действия конечной группы, является свободной тогда и только тогда, когда эта группа порождена (псевдо)отражениями. В работах И.Н. Бернштейна и О.В. Шварцмана (1978, 2006), а также В.Г. Каца и Д. Петерсона (1984) было получено обобщение данного результата на случай комплексных кристаллографических групп Кокстера. Следующим уровнем обобщения данной задачи (Э. Лойенга, 1980  и К. Сайто, 1990) является аналогичный вопрос для аффинных групп отражений или о свободных алгебрах слабых форм Якоби многих переменных. В 1992 г., К. Виртмюллер показал, что алгебры слабых W(R)-инвариантных форм Якоби для каждой классической неприводимой системы корней R, кроме E_8, являются свободными. Лишь в 2018 г. Х. Ванг доказал, что для E_8 такая алгебра не является полиномиальной.
Доказательство К. Виртмюллера носит алгебро-геометрический характер и не даёт явного построения всех образующих соответствующих алгебр. Однако явный вид образующих может быть крайне полезен в приложениях, например, для построения плоских координат на подходящих фробениусовых многообразиях. Так, например, в статьях М. Бертолы (2000) были независимо разобраны случаи систем корней A_n, B_n и G_2, а в работах И. Сатаке (1993) и К. Сакаи (2017) были рассмотрены системы корней E_6 и E_7. Также отдельно отметим, что единственная анти-инвариантная относительно действия группы Вейля слабая форма Якоби является функцией знаменателя соответствующей аффинной алгебры Каца-Муди.
Случай систем корней типа D_n интересен тем, что в нём имеется два типа образующих. В диссертации, выдвинутой на предзащиту, явно строятся все образующие алгебр слабых W(R)-инвариантных форм Якоби для систем корней типа D_n, C_n и F_4 и, в частности, даётся простое автоморфное доказательство полиномиальности биградуированных алгебр слабых  инвариантных форм Якоби для этих систем корней. Помимо этого, в диссертации исследованы нелинейные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют главные образующие индекса 1 для системы корней D_n. В докладе в рамках предзащиты будут приведены идеи основных доказательств, полученных в диссертации, а также конструкции, используемые для построения образующих.

10.12.2019 начало в 18:00

Вячеслав Спиридонов (ОИЯИ, НИУ ВШЭ)
Интегрируемые системы, автомодельность и специальные функции.

Условия совместимости стационарного уравнения Шредингера с эволюцией собственных функций по условному дискретному или непрерывному времени,определяемому действием других дифференциальных операторов, приводит к нелинейной факторизационной цепочке Инфельда и уравнению Кортвега-де Фриза. Автомодельные редукции цепочки Инфельда задают широкий класс специальных функций, включающий в себя q-деформированные трансценденты Пенлеве. При q равном примитивным корням единицы возникают конечнозонные потенциалы, описываемые тета-функциями Римана произвольного рода. В докладе я представлю эти автомодельные потенциалы и некоторые их приложения, а также кратко опишу аналоги всего формализма для других спектральных задач.

26.11.2019 начало в 18:00

Максим Королев (МИАН)
Что мы знаем и чего не знаем о нулях дзета-функции Римана.

В докладе будет рассказано о том, почему нули дзета-функции Римана представляют такой интерес для теории чисел, как точное знание их расположения позволяет доказывать те или иные утверждения о распределении простых чисел. В связи с тем, что нули дзета-функции давно превратились в объект изучения, представляющий самостоятельный интерес, в докладе будет рассказано и о некоторых свойствах этих нулей, как строго установленных, так и наблюдаемых на большом числе численных примеров.

 19.11.2019 начало в 18:00

Сергей Натанзон (НИУ ВШЭ/ИТЭФ/НМУ)
Многообразия Дубровина - Фробениуса

Созданная Б.А. Дубровиным теория фробениусовых многообразий связывает между собой казалось бы непохожие разделы математики: теорию особенностей, интегрируемые системы, классическую дифференциальную геометрию,  инварианты Громова-Виттена многообразий, пространства модулей алгебраических кривых, зеркальную симметрию и др. Я расскажу разные определения и несколько примеров этих многообразий.

 12.11.2019 начало в 18:00

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ)
Упаковки сфер и автоморфные формы.

Задача о плотнейшей упаковке сфер -- это многомерное обобщение знаменитой гипотезы Кеплера. В 2016 году М. Вязовской удалось полностью решить эту задачу в размерностях 8 и 24, где плотнейшие упаковки соответствуют решетке E_8 и решетке Лича соответственно. В докладе мы обсудим доказательство результата Вязовской, неожиданным образом опирающееся на некоторые свойства автоморфных форм.

05.11.2019 начало в 18:00

Алексей Басалаев (НИУ ВШЭ)
Странная двойственность Арнольда как зеркальная симметрия.

В докладе будет рассказано, как странная двойственность Арнольда, связывающая различные исключительные унимодальные особенности, может быть переформулирована на чисто алгебраическом языке. В такой формулировке странная двойственноть Арнольда перестает быть странной и становится эквивалентной утверждению о существовании изоморфизма фробениусовых алгебр.

29.10.2019 начало в 18:00

Дмитрий Адлер (МЛЗС НИУ ВШЭ). 

Структура алгебры форм Якоби для системы корней F_4

Мы покажем полиномиальность биградуированной алгебры слабых форм Якоби от четырех абелевых переменных инвариантных относительно действия группы Вейля системы корней F_4. 

22.10.2019 начало в 18:00
Василий Болбачан
 (НИУ ВШЭ).

Функциональное соотношение для эллиптического дилогарифма

Эллиптический дилогарифм определяется как определенное усреднение дилогарифма Блоха-Вигнера. Хорошо известно, что эллиптический дилогарифм удовлетворяет большому количеству так называемых соотношений Стейнберга, которые параметризуются рациональными функциями на эллиптической кривой. В докладе будет рассказано, почему все они следуют из случая функций степени 3 и соотношения антисимметрии.


15.10.2019 
начало в 18:00

А.С. Лосев (ИТЭФ/ МЛЗС НИУ ВШЭ).

Квантовая теория поля и зеркальная симметрия

Я расскажу про три области в зеркальной симметрии, где используется КТП:
1. Предельные точки пространства модулей КТП и рождение зеркальной симметрии; 
2. Переход от теории типа А (Громова-Виттена на торическом многообразии) к зеркальной теории типа В на уровне квантовой теории поля; 
3. Тропическая зеркальная симметрия и теория поля BCOV.


08.10.2019 начало в 18:00

В.П. Спиридонов (ЛТФ ОИЯИ, Дубна и НИУ ВШЭ, Москва).

Общий модулярный квантовый дилогарифм и бета-интегралы

Модулярный квантовый дилогарифм был предложен Фаддеевым в 1994 г. (в теории специальных функций он получил название гиперболическая гамма-функция). Он строится с помощью простейшего модулярного преобразования группы SL(2,Z), примененного к q-символу Похгаммера. Недавно было предложено обобщение этой функции на случай произвольного преобразования из SL(2,Z). В докладе будeт описана эта функция и доказана точная формула вычисления общего однократного гиперболического бета-интеграла, построенного с его помощью.

01.10.2019 начало в  18:00

Андрей Михайлович Левин (НИУ ВШЭ).

Эллиптические полилогарифмы. Общая теория и приложения.

В диссертации вводятся естественные "эллиптические" обобщения классических полилогарифмов, исследуются свойства этих функций и дается их интерпретация в контексте теории структур Ходжа. Также будут приведены примеры приложения этих функций.

24.09.2019 начало в  18:00
Александр Белавин
(ИТФ им.Ландау и ИППИ).

Гипотеза JKLMR и многогранники Батырева.

Гипотеза JKLMR предполагает связь между точным выражением для статсуммы линейной сигма-модели Виттена (GLSM) на двумерной сфере, полученной методом суперсимметричной локализации, и специальной Келеровой геометрией на пространстве модулей семейства многообразий Калаби-Яу, связанного с этой GLSM. Знание этой геометрии необходимо для определения лагранжиана эффективной теории поля, возникающей в Теории Суперструн  после ее компактификации на данное семейство многообразий Калаби-Яу. Мы показываем как, используя Зеркальную симметрию и многогранники Батырева, точно установить вышеуказанное соответствие.

25.6.2019 начало в  18:00

Пьер Ванхов (Institut de Physique Theorique of CEA, France) Башни интегралов Фейнмана

In this talk we describe the geometry of the family of multiloop sunset graph hypersurfaces.
We will show that they are described by a family of Calabi-Yau n-fold Xn where the Xn is elliptically fibered over Xn-1. We will describe the elliptic fibration.
We show that the graph hypersurface has a determintal representation. We will detail the case of the 3-loop graph hypersurface which defines a K3 surface given by the Hessian quartic K3 surfaces. We will detail the lattice polarisation and show that one needs to refine the general theory.
We will then discuss the four-loop sunset which is given by the small projective resolution of the 30 nodal Calabi-Yau threefolds after Hulek-Verrill. This is based on work in progress with Charles Doran and Andrey Novoseltsev.

18.6.2019 начало в  18:00

Андрей Левин (НИУ ВШЭ). Уравнение Книжника-Замолодчикова-Бернара (KZB)

Во втором докладе я обсужу обобщение KZ на случай Эллиптической кривой с отмеченными точками, известное как уравнение Книжника-Замолодчикова-Бернара (KZB). Основное отличие заключается в наличие как модулей расслоений на эллиптических кривых, так и модулей самих эллиптических кривых. 

11.6.2019 начало в  18:00

Андрей Левин (НИУ ВШЭ). Уравнение Книжника-Замолодчикова (KZ)

Цель предлагаемого цикла из двух докладов, 11 и 18 июня, – напоминание свойств так называемых конформных блоков для эллиптических кривых в связи с возможной (следующей из явных формул) аналогией с формами Якоби.
В первом доклaде я напомню вывод уравнения Книжника-Замолодчикова (KZ) на римановой сфере с четырьмя отмеченными точками. Для этого я бегло приведу необходимые факты из теории представления аффинных алгебр, а именно примеры «хороших» представлений и формулу Сугавары. функции, а также "разреженные" гиперболические интегралы, связанные со статистическими суммами трехмерных теорий поля.

17.4.2019 начало в  17:30

В.П. Спиридонов (ЛТФ ОИЯИ, Дубна и НИУ ВШЭ, Москва). Разреженные гипергеометрические функции и их приложения

Стандартные эллиптические гипергеометрические интегралы описывают суперконформные индексы четырехмерных суперсимметричных теорий поля и статистические суммы двумерных решеточных интегрируемых систем. Недавно были рассмотрены обобщения этих функций, ассоциированные с простейшим линзовым пространством. В докладе будут описаны эти "разреженные'' эллиптические гипергеометрические функции, а также "разреженные" гиперболические интегралы, связанные со статистическими суммами трехмерных теорий поля.

9.4.2019 начало в  18:00

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ). Конструкция Коэна-Кузнецова и арифметические функции в коротких интервалах

Пусть a(n) — арифметическая функция. Будем называть носителем a такие натуральные n, что a(n)≠0. В случае, когда a(n) — последовательность коэффициентов автоморфной формы, свойства носителя a часто представляют теоретико-числовой интерес. Мы обсудим приложение конструкции Коэна-Кузнецова к вопросам распределения носителей коэффициентов автоморфных форм в коротких интервалах. Также мы поговорим о недостатках данного метода и возможных способах их преодолеть.

18.12.2018 начало в  18:00

Андрей Зотов (МИАН/НИУ ВШЭ). Эллиптические интегрируемые системы и ассоциативное уравнение Янга-Бакстера

Будет сделан краткий обзор классических эллиптических интегрируемых моделей и связанных с ними уравнений Пенлеве. Далее будет объяснено, каким образом эллиптические функции Кронекера и Эйзенштейна обобщаются до R-матричных (некоммутативных) аналогов, и к каким результатам это приводит в интегрируемых системах.

11.12.2018 начало в  18:00

Денис Осипов (МИАН/НИУ ВШЭ). Дискретная группа Гейзенберга и тэта-функции

Дискретная группа Гейзенберга – это группа верхнетреугольных целочисленных матриц размера 3 на 3 с единицами на диагонали. А.Н. Паршин описал неприводимые комплексные представления дискретной группы Гейзенберга и вычислил следы элементов из расширенной группы Гейзенберга, являющейся полупрямым произведением исходной группы Гейзенберга и группы целых чисел, действующей на этих представлениях. Полученные следы – это тэта-функции Якоби. В совместной работе А.Н. Паршина и докладчика дискретная группа Гейзенберга была получена из двумерного локального поля, связанного с флагом подмногообразий на двумерном арифметическом многообразии, а бесконечномерное неприводимое комплексное представление естественным образом получено из пространства распределений этого же двумерного локального поля. Кроме того, на этом представлении естественным образом действует расширенная группа Гейзенберга, следы элементов которой есть тэта-функции Якоби. Об этом круге вопросов я расскажу в своем докладе.

4.12.2018 начало в  18:00

Борис Фейгин (НИУ ВШЭ). Мок тета-функции и характеры представлений логарифмических вертексных алгебр

Я расскажу про логарифмические алгебры и связанные с ними квантовые группы. В квантовогрупповых терминах можно описать представление модулярной группы на пространстве характеров.Кроме всего этого я расскажу про связи характеров с инвариантами 3-мерных многообразий. Это было относительно недавно обнаружено и пока крайне мало понято.

27.11.2018 начало в  18:00

Хаову Ванг (LabEx CEMPI, университет Лилля). Исключительные парамодулярные формы Зигеля маленьких весов

Парамодулярными формами называются модулярные формы Зигеля относительно парамодулярной группы поляризации (1,t) рода 2. Построение парамодулярные форм малых весов довольно трудная задача, эквивалентная доказательству нетривиальности третьих групп когомологий или доказательству общего типа модулярных трифолдов Зигеля. В этом докладе мы дадим краткий обзор и определим необходимые понятия, такие как парамодулярные формы, формы Якоби, тета-блоки, аддитивный подъем и произведения Борчердса. Затем мы построим бесконечное семейство парамодулярных форм веса 2, которые одновременно являются произведениями Борчердса и подъемами Гриценко (т. е. получим тождества типа «бесконечное произведение = бесконечная сумма»). Это доказывает гипотезу, сформулированную Гриценко, Poor и Yuen в 2013 году для известной бесконечной серии тета-блоков веса 2. Мы также строим бесконечные семейства антисимметричных парамодулярных форм весов 3 и 4. Эти парамодулярные формы получаются как квази-ограничения исключительных рефлективных модулярных форм сингулярного веса для решеток систем корней A4 и A6. Этот доклад основан на совместной работе с Валерием Гриценко.

20.11.2018 начало в  18:00

Д. Адлер (НИУ ВШЭ). Кольцо слабых форм Якоби для корневых решеток Dn

В 1992 году К. Виртмюллер доказал, что пространства форм Якоби, связанные с решетками корней (кроме En ), имеют структуру свободной алгебры над кольцом модулярных форм. Однако его доказательство содержит некоторые слабые моменты, особенно в случае решеток Dn, и не дает явных формул для образующих. В своем выступлении я представлю альтернативное доказательство результата Виртмюллера для решеток Dn и построю явно образующие соответствующих алгебр.

13.11.2018 начало в  18:00

А. Горинов и И. Калинкин (НИУ ВШЭ). Фундаментальные области подгрупп модулярной группы

Мы опишем алгоритм построения фундаментальных областей для действия подгруппы G группы PSL2(Z) на верхней полуплоскости H. Алгоритм требует O(n P (log n)) операций, где n - индекс G, а P - многочлен. Это квадратично быстрее, чем наивная процедура построения. Основное наблюдение состоит в том, что можно построить комбинаторную модель для фактор-пространства H/G в терминах двойных классов смежности. Это замечание также позволяет обрабатывать несколько смежных проблем, таких как нахождение свободной системы образующих G и запись данного элемента G в терминах этих образующих. Мы представим реализацию алгоритма и обсудим возможные обобщения

6.11.2018 начало в  18:00

Хаову Ванг (LabEx CEMPI, университет Лилля). Вейль-инвариантные E8 формы Якоби 2  слайды

In the first talk I have proved that the ring of Weyl invariant E8 weak Jacobi forms of fixed index is a free module over the ring of SL(2,Z) modular forms and the number of generators is known. In this talk, I will determine and construct generators of small index. To do this, I will introduce two approaches. The first one relies heavily on the differential operators. From a Jacobi form of negative weight with indicated q0-term, one builds a system of linear equations whose solution implies the existence of the given Jacobi form. The second is based on the pull-backs from E8 Jacobi forms to classical Jacobi forms. The two approaches would be also useful to study the ring of Jacobi forms for other lattices.

30.10.2018 начало в  18:00

Хаову Ванг (LabEx CEMPI, университет Лилля). Вейль-инвариантные E8 формы Якоби

For the lattice constructed from the classical root system R, Wirthmuller defined Jacobi forms invariant under the Weyl group W(R). In 1992, Wirthmuller proved that the bigraded ring of W(R)-invariant weak Jacobi forms is a polynomial algebra over the ring of SL(2, Z) modular forms except the root system E8. It is still an open problem how to extend the Wirthmuller's theorem to the case R=E8. Weyl invariant E8 Jacobi forms has applications in mathematics and physics, but very little has been known about its structure. In two talks, I will present an explicit description of the ring of W(E8)-invariant Jacobi forms.
In this talk, I will first give a brief overview of Weyl invariant Jacobi forms and Wirthmuller's structure theorem. Then I will introduce a proper extension of Wirthmuller's theorem to the case of E8 and show that the ring of W(E8)-invariant weak Jacobi forms is not a polynomial algebra.

16.10.2018 начало в  18:00

Валерий Гриценко (University of Lille и НИУ ВШЭ). Differential operators on the space of Jacobi forms

The modular differential operators will play an important role in different aspects of the theory of reflective modular forms. The first two interesting illustrations will be given in the talks of Haowu Wang and Dimitri Adler in October and November. In this talk I give an overview of quasi-modular forms, modular differential operators on Jacobi forms in many variables and Taylor expansions of Jacobi forms. The talk will be oriented on non-specialists. At the end I’ll formulate a pair of working problems.

Haowu Wang (LabEx CEMPI, University of Lille). Non-existence of reflective modular forms

A non-constant holomorphic modular form for an even lattice M of signature (2,n) is called reflective (resp. 2-reflective) if the support of its divisor is contained in the union of rational quadratic divisors determined by reflective vectors (resp. 2-reflective vectors) of M. Classification of reflective modular forms is an old open problem and has been investigated by several mathematicians (Borcherds, Gritsenko, Nikulin, Looijenga, Scheithauer, Ma, ...). In this talk, I will prove two non-existence results based on the theory of Jacobi forms. The first one is that if M admits a 2-reflective modular form then n<15, or n=19, or M is isomorphic to the unimodular lattice of signature (2,18) or (2,26). The second is that if M admits a reflective modular form then n.


9.10.2018 начало в  18:00

Андрей Левин (НИУ ВШЭ). Топологические полилогарифмы

Я опишу общую топологическую конструкцию на проколотом торе, приводящую как к классическим полилогарифмам Эйлера так и к доказательству рациональности дзета-значений в отрицательных целых числах


2.10.2018 начало в  18:00

Андрей Левин (НИУ ВШЭ). Теорема Клингена-Зигеля

Теорема Клингена-Зигеля гласит, что значения дзета-функции Дедекинда в отрицательных целых точках рационально. В первой части доклада я напомню необходимые основные понятия из теории чисел.


25.9.2018 начало в  18:00

Валерий Гриценко (University of Lille и НИУ ВШЭ). Генетика рефлективных модулярных форм

В недавней статье Гриценко и Никулина (Proc. London Math. Soc. 116 (2018), no. 3, 485–522) было показано, что рефлективные модулярные формы образуют семейства вокруг одной материнской формы. Например, нами были построены серии строго рефлективных форм по подрешеткам корней решеток Нимейера. Однако основная причина данного явления кроется в специальных чисто арифметических свойствах квадратичных решеток, которыe будут описаны в докладе. Это позволяет получить много новых (не строго) рефлективных модулярных форм вместе с новыми приложениями в теории пространств модулей.
Большая часть доклада будет рассчитана на начинающих. Мы приведем все необходимы определения, дадим обзор данной тематики и сформулируем несколько рабочих проблем.


20.06.2018 Совместное заседание с семианром по математической физике НИУ ВШЭ и Центра перспективных исследований Сколтеха 17:30—19:00, аудитория 110

Пьер Ванхов (ИТФ, Сакле) Фейнмановские интегралы, модулярные функции и не только.

In this talk I will explain the link between Feynman integrals and period of mixed Hodge structures. We will discuss the case of the sunset graph which are associated to Calabi-Yau geometry and show how the Feynman integral is expressed as modular forms at low loop order. We will present a very intriguing link with mirror symmetry and the conjecture that the sunset graph Feynman integral compute the prepotential of local Gromov-Witten invariant of some non-compact Calabi-Yau associate to the graph polynomial.

06.06.2018 Совместное заседание семинара с семинаром "Квантовая теория поля" в ЛТФ ОИЯИ (Дубна)

Пьер Ванхов (ИТФ, Сакле). Motivic approach to the evaluation of Feynman integrals

In this talk I will present a way to evaluate Feynman integral making use of the algebraic geometry defined by the graph polynomial. I will explain in what sense Feynman integral are period integrals, and how this point of view allows to derive their differential equation and provide new way of evaluating these integrals.

21.05.2018 начало  в 16:15 

Сессия семинара пройдет в Математическом Институте им. Эйлера в Санкт-Петербурге в рамках  международной научной школы-конференции “Modular Forms and Beyond”

расписание докладов

16:15—17:05 V. Golyshev (IITP RAS) Fibered motives and L-values
17:20—17:40 N. Saharova (NRU HSE) Modular Cauchy kernel corresponding to the Hecke curve
17:40—18:00  K. Stuken (NRU HSE) Free algebras of the Hilbert modular forms
18:00—18:20 D. Adler (NRU HSE) The ring of weak Jacobi forms for D_n root lattice
18:30—19:00 H. Wang (CEMPI, Lille) Weyl invariant E_8 Jacobi forms

 23.04.2018  начало в 17:00 

Эрнест Борисович Винберг (МГУ). О свободных алгебрах автоморфных форм

В предыдущей работе докладчика было доказано, что  алгебра автоморфных форм ортогональной группы  нечетной унимодулярной решетки сигнатуры (2,n) при  n=4,5,6,7 является свободной, и найдены веса ее образующих.         
Для этого была использована интерпретация соответствующего модулярного многообразия как пространства модулей подходящего семейства мультиполяризованных K3 поверхностей. Члены этих семейств допускали проективные модели в виде квартик в CP^3.  В докладе будет доказан аналогичный результат для n=8,9,10. Существенное отличие, однако, состоит в том, что будут рассматриваться проективные модели K3 поверхностей в виде некоторых поверхностей степени 8 в CP5, не являющихся полными пересечениями. 
Этот результат является обобщением на случай неопределенных решеток знаменитой теоремы Шепарда-Тодда-Шевалле о структуре алгебры инвариантов конечной линейной группы, действующей в комплексном векторном пространстве. Полное резюме доклада смотрите в pdf файле. 

26.03.2018 начало в 18:00

Павел Попов (НИУ ВШЭ, МЛЗС). Кольцо Гротендика многообразий и кубические гиперповерхности

Пусть Y — кубическая гиперповерхность. В работе Галкина и Шиндера выведена Y-F(Y) формула, связывающая Y, схему Гильберта двух точек на Y и многообразие прямых F(Y) на Y в кольце Гротендика мноогообразий K0(Var/k). В докладе мы напомним базовые сведения про кольцо Гротендика многообразий. Выведем Y-F(Y) соотношение. И обсудим возможные формулы, связывающие уже схему Гильберта четырех точек на Y c Y. Большая часть доклада будет следовать работе Sergey Galkin, Evgeny Shinder, The Fano variety of lines and rationality problem for a cubic hypersurface.


12.3.2018 начало в  18:00

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ, МЛЗС). Мок тета-функции. Часть 2

Мок-тета функции были впервые открыты Рамануджаном и им же высказана гипотеза об их модулярном происхождении. Намного позднее Цвегерс доказал, что мок-тета функции являются "голоморфными частями" форм Маасса.
В своем докладе я начну рассказывать о свойствах мок тета-функций и тета-функций неопределенных квадратичных форм в контексте теории вещественно-аналитических модулярных форм, следуя диссертации C. Цвегерса.

05.03.2018  начало в  18:00 

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ, МЛЗС). Мок тета-функции

Мок-тета функции были впервые открыты Рамануджаном и им же высказана гипотеза об их модулярном происхождении. Намного позднее Цвегерс доказал, что мок-тета функции являются "голоморфными частями" форм Маасса.
В своем докладе я начну рассказывать о свойствах мок тета-функций и тета-функций неопределенных квадратичных форм в контексте теории вещественно-аналитических модулярных форм, следуя диссертации C. Цвегерса

26.02.2018  начало в  18:00 

Николай Богачев (МФТИ, МГУ). О методах классификации рефлективных гиперболических решеток

Классификация рефлективных гиперболических решеток является давней открытой проблемой, поставленной в 1967 году Э.Б. Винбергом. В.В.  Никулин (1980-е, 2007) доказал, что рефлективных гиперболических решеток имеется лишь конечное число во всех размерностях, а сами размерности, для которых рефлективные решетки существуют, были ограничены Э.Б. Винбергом и Ф. Эссельманом (1984, 1996).
Я расскажу в докладе о новом методе классификации рефлективных гиперболических решеток (являющемся модификацией метода, примененного В.В. Никулиным), который мне удалось применить для классификации (1.2)-рефлективных анизотропных гиперболических решеток ранга 4 (то есть для решеток, чьи группы автоморфизмов с точностью до конечного индекса порождены 1- и 2-отражениями). Также я расскажу о компьютерной реализации алгоритма Винберга (совм. с А.Ю. Перепечко) построения фундаментального многогранника для групп вида R(L).


05.02.2018 
 начало в  18:00 

Василий Болбачан (НИУ ВШЭ). Автоморфизмы кубических гиперповерхностей и их модулярная интерпретация

На кубической гиперповерхности X можно рассмотреть подгруппу G\subset Aut(X) порожденную инволюциями в точках Экарта. С другой стороны для размерностей 1,2,3,4 есть модулярное описание пространства модулей кубических гиперповерхностей. При этом оказывается, что подмногообразие кубических гиперповерхностей, имеющих точку Экарта, задается как ортогональное дополнение к некоторой решетке. Таким образом кубические гиперповерхности с данной G имеют модулярное описание, а группа G реализуется как группа автоморфизмов некоторой положительно определенной решетки и порождается там отражениями относительно подрешеток. Я хочу дать обзор результатов в этой области.


29.01.2018 начало в  17:00
Выездное заседание в рамках зимней  математической школы "Статистические суммы и автоморфные формы"  в Лаборатории теоретической физики ОИЯИ, Дубна 

17:00—18:00, ауд. Боголюбова

Вячеслав Спиридонов (ЛТФ ОИЯИ и НИУ ВШЭ). Введение в теорию эллиптических гипергеометрических интегралов

Суперконформные индексы четырехмерных суперсимметричных теорий поля описываются эллиптическими гипергеометрическими интегралами.
Я опишу наиболее важные математические факты об этом классе специальных функций и представлю некоторые методы доказательства тождеств для них, которые подтверждают гипотезы о двойственности Зайберга.


22.01.2018
 начало в  18:00

Иван Яковлев (НИУ ВШЭ). Категория Фукая рационального стягивания

Рациональное стягивание M → M(p) — это перестройка гладкого 4х-мерного многообразия, сохраняющая симплектическую структуру. Результаты Финтушела и Стерна позволают понять, когда последовательность раздутий, перестроек по узлам и рациональных стягиваний приводит к многообразию, гомеоморфному, но не диффеоморфному исходному. Таким образом может быть получено множество экзотических симплектических многообразий, про геометрию которых мало что известно. В работе мы вычисляем категорию Фукая M(p) по категории Фукая M. Пользуясь результатами Ганатры, мы доказываем аналогичный результат для симплектических гомологий.


9.01.2018 начало в  15:30

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/UIF/University Lille). L-функции парамодулярных форм Зигеля веса 3 (Приглашение в новый проект)

В докладе будет предложено элементарное введение в теорию L-функций зигелевых модулярных форм для начинающих. Однако, мой доклад является и приглашением в новый научный проект. Василий Голышев в своем предновогоднем докладе объяснил, что мотивная L-функция трехмерных многообразий Калаби-Яу должна совпадать с L-функцией парамодулярной формой Зигеля рода 2 и веса 3.Первый возможный парамодулярный уровень для многообразий Калаби-Яу равен 61. Именно такую форму можно посторить, используя технику статьи Gritsenko, Poor and Yuen, Borcherds Products Everywhere, Journal of Number Theory 148 (2015), 164-195. Один из вопросов 2018 года — исследование арифметических свойств этой парамодулярной формы уровня 61.


25.12.2017 начало в  18:00

Василий Голышев. Четырехмерные представления Галуа типа Калаби-Яу

Мы обсудим, как выглядят аналоги известных задач про эллиптические кривые в случае четырехмерных представлений Галуа типа Калаби-Яу: аналитическое продолжение L-функций, функциональное уравнение, гипотеза Делиня, гипотеза Блоха-Като. Мы рассмотрим и новое явление - наличие бисравнений, не существующее в двумерном случае.


11.12.2017 начало в  18:00

В.П. Спиридонов (НИУ ВШЭ / ЛТФ ОИЯИ). Дуальность Зайберга и суперконформные индексы

Двойственность Зайберга, предложенная в 1994 г., - это "электромагнитная" дуальность двух или нескольких четырехмерных N=1 суперсимметричных квантовых теорий поля с неабелевыми калибровочными полями, которые предположительно эквивалентными друг другу в режиме сильной связи (в суперконформной критической точке). Суперконформные индексы были предложены в 2005 г. как генерирующие функции перечисляющие BPS-состояния таких теорий поля. Оказалось, что эти индексы совпадают с эллиптическими гипергеометрическими интегралами, сконструированными докладчиком в 2000 г. Равенства этих индексов, устанавливаемые с помощью "гипергеометрических" методов, и доказывают эквивалентность двойственных теорий в секторе BPS-состояний. В докладе будет дан обзор этих фактов.


4.12.2017 начало в  18:00

Дмитрий Адлер (НИУ ВШЭ). Структура форм Якоби для решётки корней D8

Для решётки с заданным на ней скалярным произведением можно определить понятие форм Якоби, связанных с этой решёткой. Оказывается, что в некоторых случаях построенные таким образом формы Якоби образуют свободную алгебру над кольцом модулярных форм. В моём докладе я докажу, что это выполнено в случае форм, связанных с решёткой корней D8. Также я построю образующие этой алгебры.


27.11.2017 начало в  18:00

Artan Sheshmani (Harvard University). On some modularity properties of Donaldson-Thomas invariants of compact Calabi-Yau threefolds predicted by supersymmetric string theory

I will talk about one of the special cases of the S-duality conjecture in superstring theory, made formerly by physicists Gaiotto, Strominger, Yin, regarding the modularity of DT invariants of sheaves supported on hyperplane sections of the quintic Calabi-Yau threefold. In order to approach this problem mathematically, one needs to reduce the threefold theory to a certain intersection theory over the relative Hilbert scheme of points on surfaces and then prove the claimed modularity. More precisely, I will talk about our proof that the generating series, associated to the top intersection numbers of the Hilbert scheme of points, relative to an effective divisor, on a smooth quasi-projective surface is a modular form. This is a generalization of the result of Okounkov-Carlsson, where they used representation theory and the machinery of vertex operators to prove this statement for absolute Hilbert schemes. These intersection numbers eventually, together with the generating series of Noether-Lefschetz numbers as I will explain, will provide the ingredients to achieve an algebraic-geometric proof of S-duality modularity conjecture.


20.11.2017 начало в  18:00

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/Lille 1/IUF). Гипотеза о тета-блоках первого порядка. Часть 2: система корней A4 и произведения Борчердса.

Тета-блоки — специальные бесконечные произведения, являющиеся голоморфными формами Якоби. Эти объекты имеют отношения к теории чисел, теории автоморфных форм, алгебрам Ли, алгебраической геометрии и теории струн. Гипотеза о тета-блоках порядка 1 была сформулирована в статье Gritsenko, Poor, Yuen в 2013 году. В первом докладе мы дали общих обзор конструкции тета-блоков в связи с теорией модулярных форм Зигеля. Во втором докладе мы дадим объяснение существование тета-блоков веса 2 и докажем для них указанную гипотезу. Основную роль в конструкции играет аффинная система корней A4 и произведения Борчердса для двойственной решетки модулярной A*4(5) определителя 125. Это наш новый совместный результат с H. Wang (Lille).


13.11.2017 начало в 18:00

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/Lille 1/IUF). Гипотеза о тета-блоках первого порядка. Часть 1: модулярные формы Зигеля.

Тета-блоки — специальные бесконечные произведения, являющиеся голоморфными формами Якоби. Эти объекты имеют отношения к теории чисел, теории автоморфных форм, алгебрам Ли, алгебраической геометрии и теории струн. Гипотеза о тета-блоках порядка 1 была сформулирована в статье Gritsenko, Poor, Yuen в 2013 году.

В двух докладах, 13 и 20 ноября, мы дадим решение этой проблемы в одном из самых интересных случаев, а именно, для форм Якоби минимального веса 2. В первом докладе мы дадим общих обзор, рассчитанный на всех слушателей немного знакомых с модулярными формами. Мы опишем формы Якоби, (пара)модулярные формы Зигеля рода 2, произведения Борчердса.

Второй доклад, 20 ноября 2017 года, — Гипотеза о тета-блоках порядка. Часть 2: аффинные и гиперболические системы корней типа A4, — будет посвящен теории произведений Борчердса и доказательству гипотезы о тета-блоках веса 2.


23.10.2017 начало в 18:00

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Расширение модулей и калибровочные линейные сигма-модели

Иногда пространства периодов (или параметров) разных геометрических объектов совпадают или вложены друг в друга матрёшкой благодаря связывающим конструкциям (якобиана, Куммеровой поверхности, итп). Например, можно собрать матрёшки из модулей шестёрок точек на P1, кривых рода 2, абелевых поверхностей, кубических поверхностей, поверхностей K3 и 4-мерных кубик. При таких расширениях модулей иногда получается обобщить формулировки известных теорем на большие классы объектов, но доказательства приходится придумывать новые. Об одном таком классе обобщений и доказательств я и расскажу. Этот класс является частным случаем мета-задачи: связать категорию пучков на многообразии модулей объектов в категории с исходной категорией. Для нахождения таких связей я рассмотрю чуть более общие геометрические данные так называемых калибровочных линейных сигма-моделей и их вариацию при изменении условия стабильности (поток ренормгруппы).


02.10.2017 начало в 18:00

Виктор Батырев (Тюбинген). Рефлексивные многогранники.

Платоновы тела дают самые известные примеры полярно двойственных пар многогранников: куб-октаэдр, икосаэдр-додэкаэдр. Комбинаторная зеркальная симметрия позволяет проинтерпретировать обнаруженную физиками зеркальную двойственность в арифметико-геометрических терминах, в которых двойственность рефлексивных многогранников играет важную роль.

Лекция мини-курса В.Батырева, посвященного комбинаторной зеркальной симметрии


25.09.2017 начало в 18:00

Виктор Батырев (Тюбинген). Торические многообразия.
Первая лекция мини-курса В.Батырева, посвященного комбинаторной зеркальной симметрии


18.09.2017 начало в 18:00

Василий Голышев (ИППИ/НИУ ВШЭ). Дифференциальные уравнения зеркальной симметрии

Я расскажу самые базовые вещи о дифференциальных уравнениях зеркальной симметрии. Специальных знаний не потребуется.


11.09.2017 начало в 18:00

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Виртуальные симметрии

Случается, что группа не может действовать на пространстве по тривиальным причинам, но многие её подгруппы могут действовать. А иногда ещё получается построить структуры и инварианты, которые были бы следствием действия полной группы, если бы оно существовало. Я опишу несколько конкретных примеров таких "виртуальных симметрий", и дам несколько возможных объяснений этого явления. Каждый из примеров и объяснений может послужить основой для самостоятельной исследовательской работы.


1.08.2017 начало в 18:00

P. Marcos Crichigno (Университет Амстердама). Twisted Compactifications and Black Hole Microstates (Скрученные компактификации и микросостояния чёрных дыр).

Given a superconformal field theory in a certain spacetime dimension, one may compactify it to lower dimensions by performing a partial topological twist, introduced by Witten. I will discuss universal features of these constructions and their AdS/CFT duals as black holes or branes in gauged supergravity. This perspective leads, as one particular application, to a counting of black hole microstates in AdS_4.


4.07.2017 начало в 18:00

Глеб Кошевой (ЦЭМИ). Комбинаторика канонических базисов и потенциалов.

Я расскажу о том, как используя комбинаторику канонического базиса Люстига, можно увидеть связь между потенциалом в модели Гивенталя для многообразия флагов и потенциалом Гросса-Хакинга-Кила-Концевича для базисного однородного пространства, и как написать функцию Уиттекера на кластерном языке.


4.07.2017  начало в 20:00

Выездное заседание в рамках летней математической школы Геометрия 2017 в ПОМИ (Фонтанка 27, Санкт-Петербург).

В. Спиридонов (ЛТФ ОИЯИ и НИУ ВШЭ), Эллиптическое гипергеометрическое уравнение.

Обычное гипергеометрическое уравнение - это дифференциальное уравнение второго порядка с тремя регулярными сингулярными точками. Оно решается в терминах 2F1 гипергеометрической функции Эйлера-Гаусса. Его эллиптическое обобщение представляет собой q-разностное уравнение второго порядка со специальными эллиптическими коэффициентами с модулярным параметром p. Оно решается в терминах эллиптического гипергеометрического интеграла с 7 свободными параметрами (в дополнение к p и q), обладающего W(E7) группой симметрии.

В. Гриценко (University of Lille1 and IUF, France, НИУ ВШЭ, Москва), Пространства модулей К3 поверхностей и модулярные формы.

K3 поверхности и их пространства модулей будут описаны в курсе лекций Миши Вербицкого на летней школе. В докладе мы расскажем, как можно изучать эти пространства модулей при помощи арифметических объектов, а именно, бесконечных автоморфных произведений Борчердса.


27.06.2017 начало в 18:00

Дарья Полякова (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия для эллиптических кривых (по Полищуку-Заслоу).

В этом докладе я расскажу работу Полищука и Заслоу о гомологической зеркальной симметрии для эллиптических кривых, а именно, я построю эквивалентность между категорией Фукаи двумерного тора с симплектической формой и производной категорией эллиптической кривой. Это уникальный случай, в котором эквивалентность можно описать явно, построив её на всех объектах и морфизмах. Ссылка на работу Полищука и Заслова (для матнета) - https://arxiv.org/abs/math/9801119


20.06.2017 начало в 18:00

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Свойство O для нечётных когомологий.

Гамма-гипотезы (сформулированные мной с Голышевым и Иритани) связывают асимптотики квантовой связности на когомологиях многообразия Фано с новым характеристическим классом в когомологиях, который называется гамма-классом и строится как класс Хирцебруха по гамма-функции Эйлера. Для того, чтобы первую гамма-гипотезу можно было хотя бы сформулировать, необходимо, чтобы выполнялось так называемое свойство О - некоторые ограничения на кратности собственных значений оператора квантового умножения на первый класс Черна, действующего на когомологиях (эти собственные значения также можно понимать как критические значения зеркальной модели Гинзбурга-Ландау). Гипотеза О утверждает, что свойство О выполнено для всех многообразий Фано. Я напомню формулировки свойства О и гамма-гипотезы, и объясню, как свойство О и первая гамма-гипотеза для тотальных когомологий следует из свойства О и первой гамма-гипотезы для чётных когомологий, с помощью аргумента, аналогичного аргументу Хертлинга-Манина-Телемана для полупростоты. Более того, достаточно знать, что свойство О выполнено на сумме (p,p)-циклов для какой-нибудь комплексной структуры. По мотивам совместной работы с Хироши Иритани "Gamma-conjecture via mirror symmetry", arXiv:1508.00719. Ссылки на работы (для матнета): Galkin-Golyshev-Iritani, https://arxiv.org/abs/1404.6407 Galkin-Iritani, https://arxiv.org/abs/1508.00719 Hertling-Manin-Teleman, https://arxiv.org/abs/0803.2769


13.06.2017 начало в 18:00

Антон Капустин (Caltech). Бозонизация в двух измерениях.

Хорошо известно, что любая система фермионов на одномерной решетке эквивалентна системе бозонов. Соответствующее операторное преобразование называется преобразованием Иордана-Вигнера. В докладе будет объяснено, как эта конструкция обобщается на случай двумерных систем. Это обобщение использует дискретные аналоги спиновых структур.


6.06.2017 18:00 - 19:00

Василий Болбачан (НИУ ВШЭ). Ортогональные модулярные формы для решетки E8.

В алгебраической геометрии известна рациональная модель десятимерного пространства модулей “E8-решетчато поляризованных” K3 поверхностей.
В докладе строится явно некоторое полиномиальное подкольцо с семью образующими (модулярные формы с весами 4, 10, 12, 16, 18, 22 и 24) градуированного кольца модулярных форм на ортогональной группе O(II(2,10)). В конце доклада мы сформулируем гипотезу о типе образующих всего кольца.


6.06.2017 19:00 - 20:00

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/ USTL/IUF). Ортогональные модулярные формы для башни решеток 0< D1 < D2<… <D7 < D8 < E8.

В докладе Василия Болбачана получены первые образующие градуированного кольца модулярных форм для унимодулярной решетки E8 по модулю теоремы о рациональности соответствующего модулярного многообразия. Используя рефлективные модулярные формы для башни решеток D1—D8, мы докажем, что существуют единственные модулярные формы весов 4, 6 и 8 относительно E8. Мы полагаем, что этот метод дает алгоритм построения (всех?) образующих колец модулярных форм для решеток башни D1—D8. Эта важная проблема, общая для алгебраической геометрии, теории инвариантов и теории автоморфных форм, уже обсуждалась на нашем семинаре в докладах Э. Б. Винберга (13.10.2015) и О.В. Шварцмана (10.11.2015).


23.05.2017 начало в 18:00

Анатолий Кириллов (University of Kyoto). Universal Dunkl operators: Algebra, Combinatorics, Graph Theory, Integrable Systems and LDT

I introduce certain noncommutative (inhomogeneous) quadratic algebra together with distinguished set of elements, called the (additive) Dunkl elements. The basic property of Dunkl elements is that they generate a commutative subalgebra inside of the noncommutative quadratic algebra we have introduced.

The main objective of our research concerning the quadratic algebra under consideration is to identify the commutative subalgebra generated by (additive) Dunkl elements with some well-known commutative algebras, such as Classical and Quantum Cohomology of certain varieties, algebras generated by integrals of motion of certain Integrable Systems, algebras associated with hyperplane arrangements, algebras associated with Low Dimensional Topology (LDT), and some others.


16.05.2017 начало в 18:00

Виктор Пржиялковский (МИАН/НИУ ВШЭ). Слои над бесконечностью моделей Ландау--Гинзбурга

Обычно моделью Ландау--Гинзбурга называется семейство компактных многообразий (Калаби--Яу) над аффинной прямой. Мы попробуем в свободной форме обсудить компактификации моделей Ландау--Гинзбурга для многообразий Фано до семейств над проективной прямой. Основное внимание будет уделено вклеиваемым слоям над бесконечностью, их свойствам и тому, какую информацию об исходном многообразии Фано они несут.


25.04.2017 начало в 18:00

Алексей Рослый (ИТЭФ, НИУ ВШЭ). Локализация в эквивариантных когомологиях: прошлый век

Эквивариантные когомологии родились для изучения когомологий фактор-пространств, а пригодились (в матфизике) как инструмент вычисления некоторых интегралов "по вычетам". Это произошло под влиянием теоремы Дюйстермаата-Хекмана, которая лучше всего понимается в контексте эквивариантных когомологий. Я постараюсь объяснить это следуя Атье и Ботту, которые дали общую формулу локализации: интеграл от эквивариантно-замкнутых форм выражен через сумму/интеграл по неподвижным точкам действия группы Ли. Новый импульс развитию таких методов придал Виттен. Для физиков формула локализации выглядит как утверждение о том, что в определенных случаях, когда в задаче имеется удобная симметрия, квазиклассическое приближение оказывается точным. Это подталкивает к применению рассуждений с эквивариантной локализацией в бесконечномерном случае, то есть в теории поля. Виттен предложил как сделать это удобнее, и при этом придумал новую версию локализации, которая интересна и в конечномерном варианте. Я попытаюсь объяснить смысл теоретико-полевых рассуждений, а также доказательство конечномерной формулы локализации Виттена, которое дали Джеффри и Кирван в 1993 г. Если это получится, будет ясно с чем, в плане "вычисления интегралов по вычетам", матфизика пришла к концу прошлого века. В наступившем веке последовало несколько важных применений формул локализации в теории поля, а также, как всегда, инфляционное развитие популярности этой темы, но об этом я уже не смогу рассказать.


18.04.2017 начало в 18:00

Марат Ровинский (НИУ ВШЭ, ИППИ). 0-циклы, линейные представления и полулинейные представления

Я расскажу, как некоторые вопросы о группах Чжоу 0-циклов сводятся к вопросам о дискретных представлениях некоторых вполне несвязных групп, и что можно сказать об ограничениях "интересных" представлений на "простейшие" подгруппы.

Вячеслав Спиридонов (ОИЯИ и НИУ ВШЭ). От многократных гамма-функций Барнса к эллиптическиой гипергеометрии

Обычные гипергеометрические функции, их q-аналоги и эллиптические обобщения соответствуют первым трем членам иерархии многократных дзета и гамма-функций Барнса. Я кратко опишу как устроены эллиптические гамма-функции в терминах функций Барнса и ряд их свойств. Основное внимание будет уделено эллиптическим гипергеометрическим интегралам и "эллиптическому преобразованию Фурье" с указанием их приложений в квантовой теории поля.


11.04.2017 начало в 18:00, ауд. 427

S. J. Bloch (UChicago), Introduction to motivic Tamagawa numbers

Совместное заседание с рабочим совещанием Motives, Periods and L-functions, 10.04-12.04.2017


4.04.2017 начало в 18:00, ауд. 427

Nicholas Shepherd-Barron (King’s College). The Schottky problem at the boundary, for curves and surfaces

The Schottky problem is that of describing the image of a moduli space under the period mapping. I shall describe some phenomena a the boundary of various moduli spaces, of curves and of surfaces; this extends earlier joint work with Codogni.

Совместное заседание с конференцией Birational geometry in positive characteristic


28.03.2017 начало в 18:00

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ) и Вячеслав Спиридонов (ОИЯИ и НИУ ВШЭ). Elliptic Hypergeometric Functions in Combinatorics, Integrable Systems and Physics (обзор материалов конференции в Вене)

Будет дан обзор тематики указанной конференции, проходившей 20-24 марта, и новых результатов, представленных на ней. Информация о конференции доступна на сайте


21.03.2017 

C 20 по 24 марта состоится выездное заседание семинара в Вене в рамках конференции Elliptic Hypergeometric Functions in Combinatorics, Integrable Systems and Physics с участием ряд сотрудников лаборатории и математического факультета ВШЭ.


14.03.2017 начало в 18:00

Виктор Пржиялковский (МИАН и НИУ ВШЭ). Эффективная зеркальная симметрия

Мы рассмотрим примеры эффективных вычислений и построений в зеркальной симметрии для многообразий Фано. Модель Ландау — Гинзбурга для многообразия Фано будет представлена просто многочленом Лорана (то есть функцией на комплексном торе), называемым торической моделью Ландау— Гинзбурга. Мы рассмотрим различные способы построения таких моделей и их свойства. В частности, мы обсудим единственность компактифицированных моделей Ландау — Гинзбурга в случае трехмерных многообразий Фано. Также мы обсудим компактификации моделей Ландау--Гинзбурга и их слои над бесконечностью. Наконец, мы обсудим числа Ходжа моделей Ландау--Гинзбурга и зеркальную симметрию для них.


7.03.2017 начало в 18:30

Иван Яковлев (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия и подсчет кривых (продолжение).

Симплектическое многообразие определяет триангулированную категорию, натянутую на лагранжевы подмногообразия. Концевич предложил рассматривать эту категорию с точностью до производной эквивалентности. Производная категория Фукая содержит большое количество геометрической информации, но вычислить ее все равно очень трудно. Недавно Ганатра доказал следующий результат: каждая гладкая подкатегория категории Фукая порождает ее (при соблюдение некоторого дополнительного технического условия). Это позволяет объяснить связь гомологической зеркальной симметрии с исчислительной и описать категорию во многих случаях. В частности, теорема Шеридана утверждает гомологическую зеркальную симметрию для Фано и Калаби-Яу гиперповерхностей и проективных пространств.

В докладе я хочу рассказать о том, в какой общности определена категория Фукая, и дать настоящее определение. После этого я хочу рассказать о теореме Ганатры и об ее следствиях.


28.02.2017 начало в 18:30

Иван Яковлев (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия и подсчет кривых.

В теории струн было предсказано число кривых на трехмерной квинтике X (Candelas, de la Ossa, Green, Parkes, 1991). Инварианты Громова-Виттена X совпадают с периодами голоморфных форм на комплексном многообразии Y – «зеркале» X. Равенство производящих функций для периодов и инвариантов Громова-Виттена физики назвали зеркальной симметрией. Позднее Концевич ввел понятие гомологической зеркальной симметрии: равенство производной категории Фукая симплектического многообразия X и производной категории когерентных пучков комплексного «зеркала» Y. Это сложное утверждение, на первый взгляд не связанное с подсчетом кривых. Гипотеза о квинтике 1991 г. была строго обоснована Гивенталем через пять лет. Еще через двадцать лет этот результат передоказал Шеридан. В своей диссертации он продемонстрировал гомологическую зеркальную симметрию для квинтики и, в соавторстве с Ганатрой и Перутцом, вывел зеркальную симметрию из гомологической версии.
Я постараюсь рассказать теорему Шеридана, по дороге разрекламировав зеркальную симметрию, категорию Фукая и все, что с этим связано.


21.02.2017

Валерий Гриценко (ВШЭ / Laboratoire Painleve, Lille / IUF). Что есть точные формулы?.

Известно большое число точных формул для тeта-функций: Эйлер, Гаусс, Якоби, Риман, …, книга Мамфорда “Tata lectures on Theta”. В докладе мы рассмотрим этот сюжет теории эллиптических функций с точки зрения модулярных форм Якоби. Такая интерпретация вводит в оборот новые объекты. Мы обсудим:
1) новые тождества между бесконечными произведениями и суммами, в частности, обобщения формулы Якоби о представлении восемью квадратами (1829);
2) обобщения тета-соотношений Римана;
3) явные тета-выражения для образующих целочисленного биградуированного кольца слабых форм Якоби всех целых весов.
Последнее кольцо, имеющее 14 образующих, является естественным “целевым” кольцом в теории эллиптических когомологий (см. известную статью Totaro, arXiv:math/0003240), обобщенных эллиптических родов (Gritsenko, arXiv:math/9906191) и появляется в теории струн. Мы опишем целочисленное кручение этого кольца и предлагаем вам дать его топологическую интерпретацию. Для понимания доклада достаточно знать определение нечетной тета-функции Якоби и (желательно) ℘-функции Вейерштрасса. Полученные результаты — первый шаг в решении аналогичных проблем в случае многих абелевых переменных.


14.02.2017

Артём Приходько (ВШЭ). Построение рода Виттена через деформационное квантование (продолжение).

В прошлый раз мы наметили общую схему построения рода Виттена и определили классическую теорию поля. В этот раз мы обсудим её квантование и увидим как из этого получается форма объёма на производном пространстве петель, интеграл по которой и даёт род Виттена.


7.02.2017

В. Голышев. Числа Бернулли, сравнения Рамануджана и теорема Милнора-Кервера.

Цель доклада - напомнить слушателям некоторые классические факты о числах Бернулли.

А. Городенцев. Лямбда-кольца, бета-кольца и когомотопии.

Мы завершим обсуждение работы P. Guillot `Adams operations in cohomotopy'


31.01.2017

Вячеслав Спиридонов. (НИУ ВШЭ / ЛТФ ОИЯИ, Дубна). Суперконформные индексы 2- и 4-мерных теорий поля и эллиптический род.

Термин суперконформный индекс был введен около 2005 г., когда выяснилось, что в четырехмерных суперсимметричных теориях поля существует объект, обобщающий индекс Виттена, который можно точно вычислить. Для двумерных суперконформных теорий ранее вводился аналогичный объект, называемый эллиптическим родом. С наивной аналитической точки зрения структура соответствующих функций сильно отличается (в d=2 это формы Якоби, а в d=4 это эллиптические гипергеометрические интегралы). Однако, полученные недавно интегральное представления для эллиптического рода показывают, что они являются специальными случаями упомянутых эллиптических гипергеометрических интегралов. В докладе будет представлен качественный обзор соответствующих результатов.


24.01.2017

Артём Приходько (ВШЭ). Построение рода Виттена через деформационное квантование.

По любой эллиптической кривой над C можно построить эллиптическую комплексно-ориентированную обобщённую теорию когомологий. С любой такой теорией стандартной процедуой связан C-значный род Хирцебруха. Род Виттена - это в некотором смысле универсальный эллиптический род. Он был определён (используя физические аргументы) в статье "E. Witten, Elliptic genera and quantum field theory" как суперконформный индекс в некоторой двумерной теории поля. В статье "A geometric construction of the Witten genus II" в качестве приложение развитого им подхода к теориям поля Кэвин Костелло приводит строгое математическое обоснование определения Виттена. Нужная теория поля для многообразия X получается деформационным кантованием классической теории построенной по (производному) пространству отображений из эллиптической кривой в T* X. В своём докладе я расскажу этот подход Костелло.


17.01.2017

Вячеслав Никулин (МИАН). Арифметическая зеркальная симметрия и лоренцевы (автоморфные) алгебры Каца-Муди.

Следуя нашей последней статье с В.А. Гриценко (см. arXiv:1602.08359), будет рассказано про арифметическую зеркальную симметрию для решеточно-поляризованных К3-поверхностей, связанную с гиперболическими алгебрами Каца--Муди и автоморфными формами.


10.01.2017

Сергей Галкин (ВШЭ). Зеркальная симметрия и автоморфные формы для некоторых гиперкелеровых многообразий.

Я расскажу про зеркальную симметрию между некоторыми гиперкелеровыми многообразиями. В частности, про случай многообразий Бовилля-Донаги прямых на 4-мерной кубике. Вычисленные инварианты типа А являются модулярными формами для классических конгруэнц-подгрупп. Это наводит на мысль, что зеркально-двойственные однопараметрические семейства гиперкелеровых многообразий изогенны степеням эллиптической кривой.


27.12.2016

Артем Калмыков (ВШЭ). Зеркальная симметрия для абелевых многообразий.

Теорема Гивенталя связывает две формальные функции: J-функцию, считающую рациональные кривые на многообразии, и I-функцию, строящуюся по вееру торического многообразия и (потенциально) описывающую зеркальное семейство. К сожалению, она работает только для полных пересечений в торических многообразиях, однако благодаря недавним результатам Ciocan-Fontanine--Kim--Sabbah ее можно обобщить до чуть более широкого класса многообразий. Например, с помощью их конструкции можно получить (нетривиальную) J-функцию для некоторых абелевых многообразий. В докладе я планирую рассказать, как по этой функции получаются модулярные формы, по которым строится семейство абелевых многообразий, и почему это семейство можно назвать зеркальным.


20.12.2016

1) Андрей Илюхин. Дискриминантные гиперповерхности в теории особенностей.

При изучении особенностей голоморфных функций естественно возникают версальные деформации (специальные семейства функций) и их дискриминантные гиперповерхности. Хорошо известно, что для простых особенностей (ABCDEF) эти гиперповерхности объемлемо биголоморфны дискриминантам групп Вейля одноимённых систем корней. Для следующих по сложности особенностей — унимодальных — должно быть нечто похожее с участием гиперболических групп отражений. Планируется рассмотреть разрешения некоторых локусов дискриминантных гиперповерхностей, вскрывающие любопытные (для простых особенностей) и очень интересные (для унимодальных) симметрии между классами особенностей. (В случае простых особенностей эти симметрии объясняются симметриям систем корней.) Никаких предварительных знаний не предполагается, необходимые сведения из теории особенностей будут сообщены слушателям.

2) Валерий Гриценко (Лаборатория Пенлеве и IUF, Лилль/ ВШЭ). Рефлективные модулярные формы и исключительные особенности Арнольда.

Будут построены автоморфные дискриминанты девяти исключительных особенностей Арнольда. Для трех особенностей эти функции были построены в препринте Гриценко и Никулина Lorentzian Kac-Moody algebras with Weyl groups of 2-reflections ( arXiv:1602.08359, 75 стр.) как формулы знаменателя Лоренцевых алгебр Каца-Муди гиперболических рангов 7, 8 и 9. В докладе мы докажем новую теорему, которая дает дискриминанты по-крайней мере девяти исключительных особенностей из четырнадцати.


13.12.2016

Валерий Гриценко (Лаборатория Пенлеве и IUF, Лилль/ВШЭ). Структура градуированнoго кольца слабых форм Якоби и “эллиптизация” многочленов Ходжа алгебраических многообразий.

Формы Якоби индекса 1 для приводимой системы корней 2A_1=A_1+A_1 ранга 2 уже появлялись на нашем семинаре в докладе Дениса Терешкина в связи с эллиптизацией полинома Ходжа поверхности К3. Формам Якоби типа A_n был посвящен предыдущий доклад Димы Адлера. Биградуированное кольцо слабых форм Якоби типа 2A_1 от двух абелевых переменных устроено много проще, чем в случае неприводимых систем корней А_n. Однако простейшая приводимая система корней достаточно интересна с автоморфной точки зрения, т.к. она позволяет по другому доказывать классические формулы из теории абелевых функций (например, формулу сложения для функции Вейерштрасса). Основной результат доклада — описание структуры градуированного кольца J_{0,*}(Z) слабых симметричных форм Якоби типа 2A_1 веса 0 с целыми коэффициентами. Гипотетически, в этом кольце будут лежать возможные эллиптизации многочленов Ходжа некоторых комплексных многообразий. Напомним, что для y-рода Хирцебруха многообразий с тривиальным первым классом Черна эллиптический род является обычной слабой формой Якоби веса 0 типа Загира-Эйхлера (тип A_1).


6.12.2016

Дмитрий Адлер (ВШЭ). Формы Якоби и системы корней

Как известно, для каждой решётки с определённым на ней скалярным произведением можно определить понятие форм Якоби. В 1992 году К. Виртмюллер показал, что для решёток, построенных по классическим системам корней (кроме $E_8$), соответствующее пространство форм Якоби является свободной алгеброй над кольцом модулярных форм. Однако доказательство К. Виртмюллера весьма громоздкое и, вероятно, может содержать некоторые пробелы. В своём докладе я докажу теорему в случае систем корней $A_n$, используя метод автоморфной коррекции.

 

Архив 2015-2016


 

Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.