• A
  • A
  • A
  • АБВ
  • АБВ
  • АБВ
  • А
  • А
  • А
  • А
  • А
Обычная версия сайта

Автоморфные формы и их приложения

В 2015 году начал работу на факультете математики ВШЭ как совместный еженедельный семинар Лаборатории алгебраической геометрии, Лаборатории Понселе (Laboratoire J.-V.Poncelet, CNRS) и Независимого Московского Университета. С декабря 2016 года семинар продолжил свою работу на факультете на базе Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм, сохраняя контакты со всеми упомянутыми математическими организациями.

Организаторы: Сергей ГалкинВалерий ГриценкоВячеслав Спиридонов
Секретарь семинара: Дмитрий Адлер.
Место: факультет математики ВШЭ, ул.Усачева, дом 6, комната 306
Время: вторник, 18:00-20:00.

Доклады:


27.06.2017 начало в 18:00

Дарья Полякова (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия для эллиптических кривых (по Полищуку-Заслоу).

В этом докладе я расскажу работу Полищука и Заслоу о гомологической зеркальной симметрии для эллиптических кривых, а именно, я построю эквивалентность между категорией Фукаи двумерного тора с симплектической формой и производной категорией эллиптической кривой. Это уникальный случай, в котором эквивалентность можно описать явно, построив её на всех объектах и морфизмах. Ссылка на работу Полищука и Заслова (для матнета) - https://arxiv.org/abs/math/9801119


20.06.2017 начало в 18:00

Сергей Галкин (НИУ ВШЭ). Свойство O для нечётных когомологий.

Гамма-гипотезы (сформулированные мной с Голышевым и Иритани) связывают асимптотики квантовой связности на когомологиях многообразия Фано с новым характеристическим классом в когомологиях, который называется гамма-классом и строится как класс Хирцебруха по гамма-функции Эйлера. Для того, чтобы первую гамма-гипотезу можно было хотя бы сформулировать, необходимо, чтобы выполнялось так называемое свойство О - некоторые ограничения на кратности собственных значений оператора квантового умножения на первый класс Черна, действующего на когомологиях (эти собственные значения также можно понимать как критические значения зеркальной модели Гинзбурга-Ландау). Гипотеза О утверждает, что свойство О выполнено для всех многообразий Фано. Я напомню формулировки свойства О и гамма-гипотезы, и объясню, как свойство О и первая гамма-гипотеза для тотальных когомологий следует из свойства О и первой гамма-гипотезы для чётных когомологий, с помощью аргумента, аналогичного аргументу Хертлинга-Манина-Телемана для полупростоты. Более того, достаточно знать, что свойство О выполнено на сумме (p,p)-циклов для какой-нибудь комплексной структуры. По мотивам совместной работы с Хироши Иритани "Gamma-conjecture via mirror symmetry", arXiv:1508.00719. Ссылки на работы (для матнета): Galkin-Golyshev-Iritani, https://arxiv.org/abs/1404.6407 Galkin-Iritani, https://arxiv.org/abs/1508.00719 Hertling-Manin-Teleman, https://arxiv.org/abs/0803.2769


13.06.2017 начало в 18:00

Антон Капустин (Caltech). Бозонизация в двух измерениях.

Хорошо известно, что любая система фермионов на одномерной решетке эквивалентна системе бозонов. Соответствующее операторное преобразование называется преобразованием Иордана-Вигнера. В докладе будет объяснено, как эта конструкция обобщается на случай двумерных систем. Это обобщение использует дискретные аналоги спиновых структур.


6.06.2017 18:00 - 19:00

Василий Болбачан (НИУ ВШЭ). Ортогональные модулярные формы для решетки E8.

В алгебраической геометрии известна рациональная модель десятимерного пространства модулей “E8-решетчато поляризованных” K3 поверхностей.
В докладе строится явно некоторое полиномиальное подкольцо с семью образующими (модулярные формы с весами 4, 10, 12, 16, 18, 22 и 24) градуированного кольца модулярных форм на ортогональной группе O(II(2,10)). В конце доклада мы сформулируем гипотезу о типе образующих всего кольца.


6.06.2017 19:00 - 20:00

Валерий Гриценко (НИУ ВШЭ/ USTL/IUF). Ортогональные модулярные формы для башни решеток 0< D1 < D2<… <D7 < D8 < E8.

В докладе Василия Болбачана получены первые образующие градуированного кольца модулярных форм для унимодулярной решетки E8 по модулю теоремы о рациональности соответствующего модулярного многообразия. Используя рефлективные модулярные формы для башни решеток D1—D8, мы докажем, что существуют единственные модулярные формы весов 4, 6 и 8 относительно E8. Мы полагаем, что этот метод дает алгоритм построения (всех?) образующих колец модулярных форм для решеток башни D1—D8. Эта важная проблема, общая для алгебраической геометрии, теории инвариантов и теории автоморфных форм, уже обсуждалась на нашем семинаре в докладах Э. Б. Винберга (13.10.2015) и О.В. Шварцмана (10.11.2015).


23.05.2017 начало в 18:00

Анатолий Кириллов (University of Kyoto). Universal Dunkl operators: Algebra, Combinatorics, Graph Theory, Integrable Systems and LDT

I introduce certain noncommutative (inhomogeneous) quadratic algebra together with distinguished set of elements, called the (additive) Dunkl elements. The basic property of Dunkl elements is that they generate a commutative subalgebra inside of the noncommutative quadratic algebra we have introduced.

The main objective of our research concerning the quadratic algebra under consideration is to identify the commutative subalgebra generated by (additive) Dunkl elements with some well-known commutative algebras, such as Classical and Quantum Cohomology of certain varieties, algebras generated by integrals of motion of certain Integrable Systems, algebras associated with hyperplane arrangements, algebras associated with Low Dimensional Topology (LDT), and some others.


16.05.2017 начало в 18:00

Виктор Пржиялковский (МИАН/НИУ ВШЭ). Слои над бесконечностью моделей Ландау--Гинзбурга

Обычно моделью Ландау--Гинзбурга называется семейство компактных многообразий (Калаби--Яу) над аффинной прямой. Мы попробуем в свободной форме обсудить компактификации моделей Ландау--Гинзбурга для многообразий Фано до семейств над проективной прямой. Основное внимание будет уделено вклеиваемым слоям над бесконечностью, их свойствам и тому, какую информацию об исходном многообразии Фано они несут.


25.04.2017 начало в 18:00

Алексей Рослый (ИТЭФ, НИУ ВШЭ). Локализация в эквивариантных когомологиях: прошлый век

Эквивариантные когомологии родились для изучения когомологий фактор-пространств, а пригодились (в матфизике) как инструмент вычисления некоторых интегралов "по вычетам". Это произошло под влиянием теоремы Дюйстермаата-Хекмана, которая лучше всего понимается в контексте эквивариантных когомологий. Я постараюсь объяснить это следуя Атье и Ботту, которые дали общую формулу локализации: интеграл от эквивариантно-замкнутых форм выражен через сумму/интеграл по неподвижным точкам действия группы Ли. Новый импульс развитию таких методов придал Виттен. Для физиков формула локализации выглядит как утверждение о том, что в определенных случаях, когда в задаче имеется удобная симметрия, квазиклассическое приближение оказывается точным. Это подталкивает к применению рассуждений с эквивариантной локализацией в бесконечномерном случае, то есть в теории поля. Виттен предложил как сделать это удобнее, и при этом придумал новую версию локализации, которая интересна и в конечномерном варианте. Я попытаюсь объяснить смысл теоретико-полевых рассуждений, а также доказательство конечномерной формулы локализации Виттена, которое дали Джеффри и Кирван в 1993 г. Если это получится, будет ясно с чем, в плане "вычисления интегралов по вычетам", матфизика пришла к концу прошлого века. В наступившем веке последовало несколько важных применений формул локализации в теории поля, а также, как всегда, инфляционное развитие популярности этой темы, но об этом я уже не смогу рассказать.


18.04.2017 начало в 18:00

Марат Ровинский (НИУ ВШЭ, ИППИ). 0-циклы, линейные представления и полулинейные представления

Я расскажу, как некоторые вопросы о группах Чжоу 0-циклов сводятся к вопросам о дискретных представлениях некоторых вполне несвязных групп, и что можно сказать об ограничениях "интересных" представлений на "простейшие" подгруппы.

Вячеслав Спиридонов (ОИЯИ и НИУ ВШЭ). От многократных гамма-функций Барнса к эллиптическиой гипергеометрии

Обычные гипергеометрические функции, их q-аналоги и эллиптические обобщения соответствуют первым трем членам иерархии многократных дзета и гамма-функций Барнса. Я кратко опишу как устроены эллиптические гамма-функции в терминах функций Барнса и ряд их свойств. Основное внимание будет уделено эллиптическим гипергеометрическим интегралам и "эллиптическому преобразованию Фурье" с указанием их приложений в квантовой теории поля.


11.04.2017 начало в 18:00, ауд. 427

S. J. Bloch (UChicago), Introduction to motivic Tamagawa numbers

Совместное заседание с рабочим совещанием Motives, Periods and L-functions, 10.04-12.04.2017


4.04.2017 начало в 18:00, ауд. 427

Nicholas Shepherd-Barron (King’s College). The Schottky problem at the boundary, for curves and surfaces

The Schottky problem is that of describing the image of a moduli space under the period mapping. I shall describe some phenomena a the boundary of various moduli spaces, of curves and of surfaces; this extends earlier joint work with Codogni.

Совместное заседание с конференцией Birational geometry in positive characteristic


28.03.2017 начало в 18:00

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ) и Вячеслав Спиридонов (ОИЯИ и НИУ ВШЭ). Elliptic Hypergeometric Functions in Combinatorics, Integrable Systems and Physics (обзор материалов конференции в Вене)

Будет дан обзор тематики указанной конференции, проходившей 20-24 марта, и новых результатов, представленных на ней. Информация о конференции доступна на сайте


21.03.2017 

C 20 по 24 марта состоится выездное заседание семинара в Вене в рамках конференции Elliptic Hypergeometric Functions in Combinatorics, Integrable Systems and Physics с участием ряд сотрудников лаборатории и математического факультета ВШЭ.


14.03.2017 начало в 18:00

Виктор Пржиялковский (МИАН и НИУ ВШЭ). Эффективная зеркальная симметрия

Мы рассмотрим примеры эффективных вычислений и построений в зеркальной симметрии для многообразий Фано. Модель Ландау — Гинзбурга для многообразия Фано будет представлена просто многочленом Лорана (то есть функцией на комплексном торе), называемым торической моделью Ландау— Гинзбурга. Мы рассмотрим различные способы построения таких моделей и их свойства. В частности, мы обсудим единственность компактифицированных моделей Ландау — Гинзбурга в случае трехмерных многообразий Фано. Также мы обсудим компактификации моделей Ландау--Гинзбурга и их слои над бесконечностью. Наконец, мы обсудим числа Ходжа моделей Ландау--Гинзбурга и зеркальную симметрию для них.


7.03.2017 начало в 18:30

Иван Яковлев (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия и подсчет кривых (продолжение).

Симплектическое многообразие определяет триангулированную категорию, натянутую на лагранжевы подмногообразия. Концевич предложил рассматривать эту категорию с точностью до производной эквивалентности. Производная категория Фукая содержит большое количество геометрической информации, но вычислить ее все равно очень трудно. Недавно Ганатра доказал следующий результат: каждая гладкая подкатегория категории Фукая порождает ее (при соблюдение некоторого дополнительного технического условия). Это позволяет объяснить связь гомологической зеркальной симметрии с исчислительной и описать категорию во многих случаях. В частности, теорема Шеридана утверждает гомологическую зеркальную симметрию для Фано и Калаби-Яу гиперповерхностей и проективных пространств.

В докладе я хочу рассказать о том, в какой общности определена категория Фукая, и дать настоящее определение. После этого я хочу рассказать о теореме Ганатры и об ее следствиях.


28.02.2017 начало в 18:30

Иван Яковлев (НИУ ВШЭ). Гомологическая зеркальная симметрия и подсчет кривых.

В теории струн было предсказано число кривых на трехмерной квинтике X (Candelas, de la Ossa, Green, Parkes, 1991). Инварианты Громова-Виттена X совпадают с периодами голоморфных форм на комплексном многообразии Y – «зеркале» X. Равенство производящих функций для периодов и инвариантов Громова-Виттена физики назвали зеркальной симметрией. Позднее Концевич ввел понятие гомологической зеркальной симметрии: равенство производной категории Фукая симплектического многообразия X и производной категории когерентных пучков комплексного «зеркала» Y. Это сложное утверждение, на первый взгляд не связанное с подсчетом кривых. Гипотеза о квинтике 1991 г. была строго обоснована Гивенталем через пять лет. Еще через двадцать лет этот результат передоказал Шеридан. В своей диссертации он продемонстрировал гомологическую зеркальную симметрию для квинтики и, в соавторстве с Ганатрой и Перутцом, вывел зеркальную симметрию из гомологической версии.
Я постараюсь рассказать теорему Шеридана, по дороге разрекламировав зеркальную симметрию, категорию Фукая и все, что с этим связано.


21.02.2017

Валерий Гриценко (ВШЭ / Laboratoire Painleve, Lille / IUF). Что есть точные формулы?.

Известно большое число точных формул для тeта-функций: Эйлер, Гаусс, Якоби, Риман, …, книга Мамфорда “Tata lectures on Theta”. В докладе мы рассмотрим этот сюжет теории эллиптических функций с точки зрения модулярных форм Якоби. Такая интерпретация вводит в оборот новые объекты. Мы обсудим:
1) новые тождества между бесконечными произведениями и суммами, в частности, обобщения формулы Якоби о представлении восемью квадратами (1829);
2) обобщения тета-соотношений Римана;
3) явные тета-выражения для образующих целочисленного биградуированного кольца слабых форм Якоби всех целых весов.
Последнее кольцо, имеющее 14 образующих, является естественным “целевым” кольцом в теории эллиптических когомологий (см. известную статью Totaro, arXiv:math/0003240), обобщенных эллиптических родов (Gritsenko, arXiv:math/9906191) и появляется в теории струн. Мы опишем целочисленное кручение этого кольца и предлагаем вам дать его топологическую интерпретацию. Для понимания доклада достаточно знать определение нечетной тета-функции Якоби и (желательно) ℘-функции Вейерштрасса. Полученные результаты — первый шаг в решении аналогичных проблем в случае многих абелевых переменных.


14.02.2017

Артём Приходько (ВШЭ). Построение рода Виттена через деформационное квантование (продолжение).

В прошлый раз мы наметили общую схему построения рода Виттена и определили классическую теорию поля. В этот раз мы обсудим её квантование и увидим как из этого получается форма объёма на производном пространстве петель, интеграл по которой и даёт род Виттена.


7.02.2017

В. Голышев. Числа Бернулли, сравнения Рамануджана и теорема Милнора-Кервера.

Цель доклада - напомнить слушателям некоторые классические факты о числах Бернулли.

А. Городенцев. Лямбда-кольца, бета-кольца и когомотопии.

Мы завершим обсуждение работы P. Guillot `Adams operations in cohomotopy'


31.01.2017

Вячеслав Спиридонов. (НИУ ВШЭ / ЛТФ ОИЯИ, Дубна). Суперконформные индексы 2- и 4-мерных теорий поля и эллиптический род.

Термин суперконформный индекс был введен около 2005 г., когда выяснилось, что в четырехмерных суперсимметричных теориях поля существует объект, обобщающий индекс Виттена, который можно точно вычислить. Для двумерных суперконформных теорий ранее вводился аналогичный объект, называемый эллиптическим родом. С наивной аналитической точки зрения структура соответствующих функций сильно отличается (в d=2 это формы Якоби, а в d=4 это эллиптические гипергеометрические интегралы). Однако, полученные недавно интегральное представления для эллиптического рода показывают, что они являются специальными случаями упомянутых эллиптических гипергеометрических интегралов. В докладе будет представлен качественный обзор соответствующих результатов.


24.01.2017

Артём Приходько (ВШЭ). Построение рода Виттена через деформационное квантование.

По любой эллиптической кривой над C можно построить эллиптическую комплексно-ориентированную обобщённую теорию когомологий. С любой такой теорией стандартной процедуой связан C-значный род Хирцебруха. Род Виттена - это в некотором смысле универсальный эллиптический род. Он был определён (используя физические аргументы) в статье "E. Witten, Elliptic genera and quantum field theory" как суперконформный индекс в некоторой двумерной теории поля. В статье "A geometric construction of the Witten genus II" в качестве приложение развитого им подхода к теориям поля Кэвин Костелло приводит строгое математическое обоснование определения Виттена. Нужная теория поля для многообразия X получается деформационным кантованием классической теории построенной по (производному) пространству отображений из эллиптической кривой в T* X. В своём докладе я расскажу этот подход Костелло.


17.01.2017

Вячеслав Никулин (МИАН). Арифметическая зеркальная симметрия и лоренцевы (автоморфные) алгебры Каца-Муди.

Следуя нашей последней статье с В.А. Гриценко (см. arXiv:1602.08359), будет рассказано про арифметическую зеркальную симметрию для решеточно-поляризованных К3-поверхностей, связанную с гиперболическими алгебрами Каца--Муди и автоморфными формами.


10.01.2017

Сергей Галкин (ВШЭ). Зеркальная симметрия и автоморфные формы для некоторых гиперкелеровых многообразий.

Я расскажу про зеркальную симметрию между некоторыми гиперкелеровыми многообразиями. В частности, про случай многообразий Бовилля-Донаги прямых на 4-мерной кубике. Вычисленные инварианты типа А являются модулярными формами для классических конгруэнц-подгрупп. Это наводит на мысль, что зеркально-двойственные однопараметрические семейства гиперкелеровых многообразий изогенны степеням эллиптической кривой.


27.12.2016

Артем Калмыков (ВШЭ). Зеркальная симметрия для абелевых многообразий.

Теорема Гивенталя связывает две формальные функции: J-функцию, считающую рациональные кривые на многообразии, и I-функцию, строящуюся по вееру торического многообразия и (потенциально) описывающую зеркальное семейство. К сожалению, она работает только для полных пересечений в торических многообразиях, однако благодаря недавним результатам Ciocan-Fontanine--Kim--Sabbah ее можно обобщить до чуть более широкого класса многообразий. Например, с помощью их конструкции можно получить (нетривиальную) J-функцию для некоторых абелевых многообразий. В докладе я планирую рассказать, как по этой функции получаются модулярные формы, по которым строится семейство абелевых многообразий, и почему это семейство можно назвать зеркальным.


20.12.2016

1) Андрей Илюхин. Дискриминантные гиперповерхности в теории особенностей.

При изучении особенностей голоморфных функций естественно возникают версальные деформации (специальные семейства функций) и их дискриминантные гиперповерхности. Хорошо известно, что для простых особенностей (ABCDEF) эти гиперповерхности объемлемо биголоморфны дискриминантам групп Вейля одноимённых систем корней. Для следующих по сложности особенностей — унимодальных — должно быть нечто похожее с участием гиперболических групп отражений. Планируется рассмотреть разрешения некоторых локусов дискриминантных гиперповерхностей, вскрывающие любопытные (для простых особенностей) и очень интересные (для унимодальных) симметрии между классами особенностей. (В случае простых особенностей эти симметрии объясняются симметриям систем корней.) Никаких предварительных знаний не предполагается, необходимые сведения из теории особенностей будут сообщены слушателям.

2) Валерий Гриценко (Лаборатория Пенлеве и IUF, Лилль/ ВШЭ). Рефлективные модулярные формы и исключительные особенности Арнольда.

Будут построены автоморфные дискриминанты девяти исключительных особенностей Арнольда. Для трех особенностей эти функции были построены в препринте Гриценко и Никулина Lorentzian Kac-Moody algebras with Weyl groups of 2-reflections ( arXiv:1602.08359, 75 стр.) как формулы знаменателя Лоренцевых алгебр Каца-Муди гиперболических рангов 7, 8 и 9. В докладе мы докажем новую теорему, которая дает дискриминанты по-крайней мере девяти исключительных особенностей из четырнадцати.


13.12.2016

Валерий Гриценко (Лаборатория Пенлеве и IUF, Лилль/ВШЭ). Структура градуированнoго кольца слабых форм Якоби и “эллиптизация” многочленов Ходжа алгебраических многообразий.

Формы Якоби индекса 1 для приводимой системы корней 2A_1=A_1+A_1 ранга 2 уже появлялись на нашем семинаре в докладе Дениса Терешкина в связи с эллиптизацией полинома Ходжа поверхности К3. Формам Якоби типа A_n был посвящен предыдущий доклад Димы Адлера. Биградуированное кольцо слабых форм Якоби типа 2A_1 от двух абелевых переменных устроено много проще, чем в случае неприводимых систем корней А_n. Однако простейшая приводимая система корней достаточно интересна с автоморфной точки зрения, т.к. она позволяет по другому доказывать классические формулы из теории абелевых функций (например, формулу сложения для функции Вейерштрасса). Основной результат доклада — описание структуры градуированного кольца J_{0,*}(Z) слабых симметричных форм Якоби типа 2A_1 веса 0 с целыми коэффициентами. Гипотетически, в этом кольце будут лежать возможные эллиптизации многочленов Ходжа некоторых комплексных многообразий. Напомним, что для y-рода Хирцебруха многообразий с тривиальным первым классом Черна эллиптический род является обычной слабой формой Якоби веса 0 типа Загира-Эйхлера (тип A_1).


6.12.2016

Дмитрий Адлер (ВШЭ). Формы Якоби и системы корней

Как известно, для каждой решётки с определённым на ней скалярным произведением можно определить понятие форм Якоби. В 1992 году К. Виртмюллер показал, что для решёток, построенных по классическим системам корней (кроме $E_8$), соответствующее пространство форм Якоби является свободной алгеброй над кольцом модулярных форм. Однако доказательство К. Виртмюллера весьма громоздкое и, вероятно, может содержать некоторые пробелы. В своём докладе я докажу теорему в случае систем корней $A_n$, используя метод автоморфной коррекции.

 

Архив 2015-2016


 

Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!