Семинар "Автоморфные формы и их приложения"
Семинар состоится 5 декабря в 18:10 в 306 ауд.
Аннотация: Пусть p(n) — число разбиений числа n. Сриниваса Рамануджан открыл тождества p(5n + 4) = 0 mod 5, p(7n + 5) = 0 mod 7, p(11n + 6) = 0 mod 11.
Сравнением Рамануджана по простому модулю q назовем тождество вида p(qn + b) = 0 mod q, где b — фиксированное целое число.
Модулярные формы раскладываются в ряд Фурье. Если коэффициенты ряда рациональные и знаменатели коэффициентов не делятся на простое q, то мы получим формальный степенной ряд с коэффициентами в Z/qZ.
Мы обсудим некоторые свойства таких рядов и затем, следуя работе Скотта Альгрена и Мэтью Бойлана "Arithmetic properties of the partition function" 2003 года, докажем, что не бывает сравнений Рамануджана, кроме перечисленных трех.
Арифметические свойства числа разбиений: сравнения Рамануджана