Первая летняя математическая школа на Фонтанке: Геометрия 2017

Научный комитет: Михаил Вербицкий (НИУ ВШЭ, ULB, Brussels), Валерий Гриценко (Université de Lille, IUF, НИУ ВШЭ), Александр Кузнецов (МИАН, НИУ ВШЭ), Иван Панин (ПОМИ).

« на главную страницу | зарегистрироваться »

Предварительный список курсов

Миша Вербицкий (НИУ ВШЭ), Геометрия K3-поверхностей и теорема Торелли

К3-поверхность есть односвязная комплексная поверхность с тривиальным каноническим классом (допускающая невырожденную голоморфную форму объема). Я расскажу, почему все К3-поверхности диффеоморфны, и опишу пространство деформаций комплексных структур. Потом я расскажу про доказательство теоремы Торелли, утверждающей, что К3 поверхность определяется своей структурой Ходжа. На начальных лекциях от студентов не потребуется ничего, кроме базовых фактов и определений дифференциальной геометрии (многообразия, почти комплексные структуры, симплектические структуры, комплексные структуры). Ближе к концу, потребуется владение основными понятиями комплексной алгебраической геометрии: линейные расслоения, каноническое расслоение, связность Черна на голоморфном расслоении и ее кривизна, но я дам все нужные определения и расскажу вкратце, о чем это.

План:

1. Классы Черна. Формула Римана-Роха для поверхностей.
2. К3-поверхности, их геометрия и топология.
3. Теорема Калаби-Яу. Гиперкэлеровы структуры. Локальная теорема Торелли для К3-поверхностей.
4. Двумерные квартики. Диффеоморфность К3-поверхностей.
5. Глобальная теорема Торелли.

Литература:

Учебник про поверхности К3:
Daniel Huybrechts. Lectures on K3 surfaces

Учебники по комплексной алгебраической геометрии
Алгебраическая геометрия:
Дж. Мамфорд. Комплексные проективные многообразия.
К. Вуазен, Теория Ходжа и комплексная алгебраическая геометрия
Р. Хартсхорн, Алгебраическая геометрия.
R. Lazarsfeld. Positivity in Algebraic Geometry.
Ф. Гриффитс, Дж. Харрис. Принципы алгебраической геометрии.
Jean-Pierre Demailly. Complex analytic and differential geometry.
A. Beauville. Complex Algebraic Surfaces.
Х. Клеменс, Я. Коллар, С. Мори. Многомерная комплексная геометрия.
В. И. Данилов. Алгебраические многообразия и схемы (обзор ВИНИТИ).
В. И. Данилов. Когомологии алгебраических многообразий (обзор ВИНИТИ).
Daniel Huybrechts. Comlpex geometry: An introduction.

Дифференциальная геометрия:
Артур Бессе. Четырёхмерная риманова геометрия. Семинар Артура Бессе 1978 - 1979
Дж. Милнор. Теория Морса.
Артур Бессе. Многообразия Эйнштейна.
М. Громов. Знак и геометрический смысл кривизны.
Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry.
D. Joyce. Compact manifolds with special holonomy.

План программы по математике (последовательность изучения, много других книг и ссылок)

Материалы:

  Слайды лекции 1 (PDF, 198 Кб),   Задачи к лекции 1 (PDF, 194 Кб)
  Слайды лекции 2 (PDF, 461 Кб),   Задачи к лекции 2 (PDF, 176 Кб)
  Слайды лекции 3 (PDF, 187 Кб),   Задачи к лекции 3 (PDF, 198 Кб)
  Слайды лекции 4 (PDF, 186 Кб),   Задачи к лекции 4 (PDF, 217 Кб)
 Слайды лекции 5 (PDF, 196 Кб)

Александр Кузнецов (МИАН), Многообразия Фано.

Я расскажу о многообразиях Фано --- одном из наиболее важных классов алгебраических многообразий. По определению, многообразие Фано --- этот гладкое проективное многообразие с обильным антиканоническим классом. В отличии от многообразий общего типа (многообразий с обильным каноническим классом), в каждой размерности имеется лишь конечное число деформационных классов многообразий Фано, однако полностью классифицировать их удалось только вплоть до размерности 3. Многообразия Фано близки по свойствам к рациональным многообразиям, в частности всякое многообразие Фано рационально связно. Однако, многие многообразия Фано не рациональны, и в общем случае вопрос о рациональности многообразий Фано является сложным и интересным. С другой стороны, многообразия Фано крайне интересны с точки зрения структуры их производной категории когерентных пучков. В частности, их производная категория всегда обладает интересным полуортогональным разложением, а структура его компонент тесно связана с геометрическими свойствами многообразия. Я расскажу о классификации многообразий Фано в размерностях не выше 3 и взаимосвязях между вопросами рациональности и структурой их производных категорий. Кроме того, я постараюсь рассказать о интересных вопросах для многообразий большей размерности.

Сергей Иванов (ПОМИ), Геометрия пространств Александрова

Пространства Александрова - метрические пространства, которые в определенном смысле имеют ограниченную (сверху или снизу) кривизну. К ним относятся римановы многообразия, негладкие выпуклые поверхности, многие 'полиэдральные' объекты, пределы римановых многообразий и другие примеры. Пространства Александрова неположительной кривизны, называемые CAT(0)-пространствами, связаны с с дельта-гиперболичностью по Громову и, в частности, с гиперболическими группами. В курсе планируется обзор основ теории пространств Алексадрова: сравнение метрических пространств (расстояние по Громову-Хаусдорфу и т.п.), определение кривизны, теоремы глобализации, конструкции и свойства пространств Александрова. Предварительных знаний за пределами университетской программы первого-второго курса не требуется.

Laurent Manivel (CNRS, France), The projective geometry of rational homogeneous spaces.

Homogeneous spaces form an interesting collection of algebraic varieties. For example they can be used to construct many families of Fano varieties. I will give a short introduction to algebraic groups and their projective homogeneous spaces, and I will introduce a few tools in order to study their geometry.

Дмитрий Орлов (МИАН), От коммутативной к некоммутативной геометрии: когерентные пучки и производные категории.

Данный курс будет посвящен вопросам, связанным с подходами к пониманию и изучению того,что мы называем некоммутативной алгебраической геометрией. Вначале мы поговорим о коммутативной геометрии и изучении обычных алгебраических многообразий с помощью когерентных пучков, которые естественно рассматривать все в совокупности как объекты производной категории. Будут обсуждаться вопросы описания данных категорий и их взаимосвязи друг с другом. Так же мы поговорим о том, чем хороши данные категории и как их можно выделить среди других похожих категорий,посмотрим на их различные свойства и на то, как увидеть в категорном мире проявление естественных свойств самих многообразий. Далее мы посмотрим на естественные пути появления некоммутативных многообразий и поговорим про их свойства, как на уровне когерентных пучков на них, так и производных категорий. Рассмотрим несложные но нетривиальные примеры таких некоммутативных многообразий и попробуем описать их различные свойства как те, которые приходят из коммутативной геометрии, так и новые эффекты, которые не видны в коммутативном мире.