Летняя математическая школа Алгебра и Теория Чисел 2019

31 июля — 7 августа 2019 года, Учебный Центр НИУ ВШЭ в Вороново

Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм НИУ ВШЭ совместно с факультетом математики НИУ ВШЭ и Междисциплинарным международным научным центром им. Ж.-В. Понселе проводит летнюю студенческую математическую школу в Учебном Центре НИУ ВШЭ в Вороново под Москвой.

Новая летняя математическая школа в Вороново ставит своей целью заполнить пробел между двумя известными российскими летними студенческими школами в Дубне (проводится с 2001 года) и Ярославле (проводится с 2011 года). Знаменитая школа в Дубне ориентирована на начинающих, а школа в Ярославле — на дипломников и аспирантов. Целевая аудитория новой школы в Вороново — студенты-математики, хорошо освоившие университетскую программу первых пяти семестров.

Лекторы школы в Вороново известны не только как выдающиеся математики (например, Joseph Oesterlé один из авторов знаменитой abc-гипотезы), но и как прекрасные лекторы. Курсы лекций будут сопровождаться семинарами, на которых студенты смогут задавать вопросы, решать задачи и действительно разобраться в лекционном материале. Программа школы  

Основная программа школы состоит из четырех мини-курсов и трех семинаров по ним:

•  Gerard van der Geer (University of Amsterdam) «Curves over finite fields»
   Семинар Сергея Рыбакова (ИППИ РАН/МНУ)  Семинар
   Prerequisite: some knowledge of algebraic curves and/or algebraic geometry. But I will state what is needed and what we use.
   Abstract

We shall treat the basic theory of curves over finite fields. Topics include zetafunction, Hasse-Weil and its improvements, maximal and optimal curves, curves with many points, asymptotics, towers, modular curves, relation with coding theory.

More precisely a list of possible contents could be: Recall of finite fields, the notion of a curve and the statement of Riemann-Roch. Examples of curves; elliptic curves. Behaviour under Field Extensions. The Zeta function and its functional equation. Stepanov-Bombieri proof of Hasse-Weil. The Stoehr-Voloch approach. The 2-variable zeta function. Maximal curves. Improvements of the Hasse-Weil bound. The Jacobian. Interpretation of Hasse-Weil in terms of cohomology. Relation with coding theory. Supersingular curves and Reed-Muller codes Asymptotics of N_q(g).

•  Александр Меркурьев (University of California at Los Angeles) «Простые алгебры»
   Семинар Алексея Ананьевского (Лаборатория Чебышева, СПбГУ)  Семинар
   План курса

Алгебры над полями;
Тензорное произведение алгебр;
Централизатор, центральные алгебры;
Простые алгебры, алгебры с делением;
Теорема Нетер-Сколема;
Теорема от двойном централизаторе;
Теорема Веддерберна о строении простых алгебр;
Группа Брауэра поля, примеры;
Максимальные подполя, поля расщепления;
Степень алгебры;
Циклические алгебры;
Алгебры кватернионов;
Гомоморфизм норменного вычета;
Скрещенные произведения;
Коограничение алгебр.

Литература
1. Херстейн И. Некоммутативные кольца, Мир, 1972.
2. Draxl, P.K. Skew fields, Cambridge University Press, 1983.
3. Gille Ph, Szamuely T. Central simple algebras and Galois cohomology, Cambridge University Press, 2017.

•  Joseph Oesterlé (University Paris VI) «Multiple Stieltjes constants»  1,    2
   Summary

Stieltjes constants are the coefficients of the Laurent expansion of the Riemann zeta function at 1. We shall describe Laurent type expansions of all multiple zeta functions at all integer points. Their coefficients will be expressed in terms of multiple Stieltjes constants, defined as regularized values of some elementary divergent series.

Reference:
Multiple Stieltjes constants and Laurent type expansion of the multiple zeta functions at integer points, by Biswajyoti Saha, preprint available as arXiv:1902.04389, submitted for publication in 2018.

•  Максим Королёв (МИАН) «Введение в теорию дзета-функции Римана»
   Семинар Александра Калмынина (НИУ ВШЭ) по вопросам аналитической теории чисел, затронутым в курсах.
   Цель курса

— познакомить слушателей с дзета-функцией Римана, которая «перекидывает мостик» от теории функций комплексного переменного к чисто арифметическим объектам — простым числам. Во вводной части курса будут рассмотрены простейшие свойства дзета-функции и ее комплексных нулей (эйлеровское произведение, продолжимость на комплексную плоскость, функциональное уравнение, формула Римана-Мангольдта). Основная часть курса будет посвящена тому, как с помощью этих свойств дзета-функции Римана выводить различные утверждения о распределении простых чисел — асимптотический закон, теоремы о простых числах в коротких промежутках. Также будет затронут вопрос о том, к каким утверждениям о простых числах может привести предположение о справедливости гипотезы Римана.

Лекции и семинары школы будут ориентированы на студентов-математиков, подготовленных по программе первых трех лет университета. Семинары дадут возможность слушателям поработать над темами курсов и выступить с решениями трудных задач.

В рамках культурной программы школы будут прочитаны дополнительные лекции по вопросам современной математики:
•  Федор Богомолов (Курантовский институт математических наук Университета Нью-Йорка, ЛАГ НИУ ВШЭ) «Некоторые вопросы теории эллиптических кривых»  
•  Ростислав Григорчук (Texas A&M University/МИАН) «Проблемы современной теории групп»  Лекция 31.07.19,
•  Валерий Гриценко (University of Lille/НИУ ВШЭ) «Точные формулы (как начать изучать теорию автоморфных форм)»,
•  Михаил Цфасман (CNRS/ИППИ/НМУ) «Алгебраическая геометрия и кодирование»   
•  Иван Чельцов (Университет Эдинбурга/НИУ ВШЭ) «Как заинтересовать студентов бирациональной геометрией используя простую теорию чисел?»  Лекция 03.08.19.  

После окончания работы школы возможно продолжение активной дополнительной работы мотивированных слушателей по изучению современной математики.

Вопросы можно задавать по e-mail: vgritsenko@hse.ru и okozinets@hse.ru

Научные руководители школы: Валерий Гриценко и Михаил Цфасман.

Проживание и питание в Учебном Центре в Вороново будет полностью обеспеченно организаторами школы.