НИС "Распределение простых чисел"

под руководством Александра Калмынина

Множество простых чисел и его свойства, такие как распределение простых чисел в коротких интервалах и арифметических прогрессиях, играет большую роль в современной теории чисел, поскольку простые числа являются "строительным материалом" для всех целых чисел.

Курс "Распределение простых чисел" будет посвящен различным результатам о простых числах, начиная с самых классических, таких как асимптотический закон распределения простых чисел и его связь с гипотезой Римана, и заканчивая более современными и технически сложными, такими как теорема Виноградова о сумме трёх простых чисел или результат Хиз-Брауна о бесконечности пар чисел-близнецов в ситуации, когда существуют нули Зигеля.

Мы также коснемся вопросов о простых числах в коротких интервалах и полиномиальных последовательностях, попутно изучив основы методов решета и другие методы аналитической теории чисел.

Спецкурс проходит по средам с 14:40  до 16:00 в кабинете 208.

Программа:

0. Суммирование арифметических функций, ряды Дирихле, формула Перрона.

1. Дзета-функция Римана, L-функции Дирихле, асимптотический закон распределения простых чисел, простые в арифметических прогрессиях, гипотеза Римана, теорема Зигеля-Вальфиша, нули Зигеля.

2. Методы решета: решето Эратосфена, теорема Бруна, формула Виноградова для функции Мангольдта и оценка линейной тригонометрической суммы с простыми числами.

3. Всякое достаточно большое натуральное число есть сумма трёх простых чисел. Числа вида n^2-1 и n^2+1 с малым количеством простых делителей. Теорема Романова.

4. Гладкие числа, простые числа в коротких интервалах и теорема Ранкина о больших промежутках между простыми числами.

* Неравномерности в распределении простых чисел.

* Числа-близнецы и нули Зигеля.

Литература:

1. К. Прахар "Распределение простых чисел" 
2. Т. Тао, записки курса Math 254A "Analytic prime number theory"
3. Д. Р. Хиз-Браун "Lectures on sieves", arXiv:math/0209360

Лекции выкладываются на канале Mathematics At HSE
YouTube playlist link

Задачи, лекции

Листок задач 1

Листок задач 2

Листок задач 4

Конспект лекции -  18.11.2020

Запись лекции - 18.11.2020

Конспект лекции -  25.11.2020

Запись лекции - 25.11.2020

Конспект лекции -  2.12.2020

Запись лекции - 2.12.2020

Конспект лекции -  9.12.2020

Запись лекции - 9.12.2020

Конспект лекции 16.12.2020

Конспект лекции 23.12.2020

ЭКЗАМЕН