Вайнштейновы многообразия и симплектические когомологии

Курс рассчитан на студентов старших курсов, аспирантов и научных сотрудников. Для студентов и аспирантов этот курс можно будет зачесть как внешний курс по выбору. План курса

Подробнее о курсе

Симплектическое многообразие называется точным, если на нем выделена форма, дифференциал которой задает симплектическую структуру. Такое многообразие автоматически некомпактно либо имеет край. Вайнштейново многообразие это точное симплектическое многообразие, на которое наложены некоторые дополнительные условия невырожденности на бесконечности. Важным примером вайнштейнового многообразия являются аффинные комплексные многообразия. Другой важный пример — тотальное пространство кокасательных расслоения. Кроме этого, можно строить новые вайнштейновы многообразия, стартуя со старых: включая их как слой в пучок Лефшица (по Гомпфу и Зайделю) либо приклеивая ручку по изотропной сфере (по Вайнштейну).

Теорема Дональдсона-Жиру о дивизоре утверждает, что по каждому симплектическому многообразию, класс формы которого целочисленный, можно построить вайнштейново на дополнении к окрестности некоторого подмногообразия вещественной коразмерности 2. Таким образом, мы "включаем" наше компактное целочисленное многообразие в семейство вайнштейновых. Таким образом описание вайнштейновых многообразий и вычисление их инвариантов — центральная тема в симплектической топологии.

Вайнштейновы многообразия открыли Громов и Элиашберг. Вопрос, которым они занимались — описание пространства вайнштейновых структур на данном гладком многообразии. В серии работ, Элиашберг и его соавторы доказали версии h-принципа для класса гибких вайнштейновых структур — для них выполнены теоремы единственности, позволяющие рассклассифицировать их в чисто топологических терминах.

С другой стороны, Зайдель, МакЛейн, Абузаид и другие изобрели конструкции экзотических вайнштейновых структур. Для того, чтобы доказывать попарную несимплетоморфность построенных многообразий, нужно использовать алгебраические инварианты, самый мощный из которых — симплектические когомологии. Это кольцо, возможно бесконечномерное, конструкция которого частично обобщает конструкцию кольца квантовых когомологий на некомпактный случай. Для вычисления этого кольца нужно описывать пространства модулей решений сложных дифференциальных уровнений, и работать с ним очень тяжело. Мы хотим ответить на структурные вопросы о симплектических когомологиях (например, как они меняются при приклеивании ручки по Вайнштейну).

Другой инвариант вайнштейнова многообразия — скрученная категория Фукая. Это триангулированная A^бесконечность Калаби-Яу категория, натянутая на точные лагранжевы подмногообразия, морфизмы в которой задаются скрученными гомологиями Флоера. Это гораздо более громоздкий объект, с которым, тем не менее, гораздо проще работать. Ганатра, обобщая результат Абузаида о кокасательных расслоениях, показал в своих тезисах, что гомологии Хохшильда сурученной категории Фукая изоморфны симплектическим когомологиям.

Цель курса — разобрать работы Элиашберга, дать определение гомологий Флоера и симплектических когомологий, построить категорию Фукая и открыто-замкнутое отображение, описать струтурные результаты о категории Фукая, полученные в последние годы.

Конспекты:

Все лекции (PDF, 3.44 Мб)

Часть 1. Cимплектиеские многообразия и стабильность (PDF, 288 Кб)

Часть 2. Лиувиллевы многообразия и деформации (PDF, 298 Кб)

Часть 3. Вайнштейновы многообразия и разложения на ручки (PDF, 290 Кб)

Аннотация лекций

Введение
1) Симплектическая геометрия	Симплектические формы, Лагранжевы подмногообразия, группы гамильтоновых симплектоморфизмов.
2) Точные симплектические многообразия	Точные симплектические формы, Лиувиллевы формы и векторные поля, точные и конформные симплектоморфизмы, теорема об открытой окрестности, теорема Дарбу.
3) Примеры	Кокасательные расслоения, Штейновы многообразия, дополнения до дивизоров (не дописано!)
4) Контактные многообразия	Контактные формы, изотропные подмногообразия, классификация контактных векторных полей, теорема Грея, теорема об открытой окрестности, теорема Пфаффа
5) Пространства симплектических расслоений	Каноническая форма на тотальном простанстве симплектического расслоения. Контактная структура на симплектическом расслоении над контактным многообразием
Лиувиллевы многообразия
6) Выпуклость в симплектических многообразиях	Эквивалентные определения выпуклости, симплектизация контактного многообразия, окрестность выпуклой гиперповерхности, выпуклые на бесконечности симплектические многообразия
7) Лиувиллевы многообразия и области	Лиувиллевы области, гомотопии, эквивалентные определения Лиувиллевых многообразий, примеры, теорема стабильности
8) Геометрия Лиувиллевых многообразий	Скелет Лиувиллева многообразия, пополнения, многообразия конечного типа, гомотопии с компактным носителем, теорема стабильности для многообразий конечного типа. Пространство точных симплектических многообразий, выпуклых на бесконечности
9) Симплектические расслоения над Лиувиллевыми многообразиями	Каноническая структура Лиувиллева многообразия на окрестности нулевого сечения (не дописано!)
Лиувиллевы гиперповерхности
10) Выпуклость в контактных многообразиях	Выпуклые гиперповерхности, канонические координаты на их окрестностях, деформации, теорема о продолжении изотопии. Контактные многообразия с выпуклой границей, версия теоремы Грея для них.
11) Лиувиллевы гиперповерхности	Точные и Лиувиллевы гиперповерхности, канонические координаты, гомотопии вложений и теорема стабильности, каноническая окрестность,
12) Склеивание по Лиувиллевым гиперповерхностям	Стандартное разбиение выпуклой гиперповерхности, граница канонической окрестности и ее разбиение, каноническая окрестность как контактное многообразие с выпуклой границей. Эквивалентные определения канонической окрестности, склеивание контактных многообразий по Лиувиллевым гиперповерхностям.
13) Нормальные формы	Описание окрестности изотропного подмногообразия в контактном многообразии. Построение Лиувиллевой гиперповерхности, содержащей данное изотропное подмногообразие.. (не дописано!)
Лиувиллевы сектора
14) Лиувиллевы пары	Лиувиллевы пары, скелет, отрегулированное поле, Лиувиллевы области с краем. Склейка и разрезание Лиувиллевых пар.
15) Лиувиллевы сектора	Эквивалентные определения, примеры, проекция в окрестности границы, горизонтальное пополнение
16) Пополнения и теорема стабильности	Пополнение Лиувиллевой пары, теорема стабильности, Теорема о существовании гомотопии (не дописано!)

Занятия:

В субботу 15 декабря с 15:00 до 18:00 в аудитории 208 состоится следующая лекция курса: Ваня Яковлев (МЛЗС), Введение в симплектические когомологии

Симплектические когомологии — версия гомологий Флоера для некомпактных симплектических многообразий. В первой части лекции я напомню определение омолоий Флоера, расскажу про градуировки и операции на них, а во второй расскажу о некомпактной версии и приведу несколько примеров.Гипотеза Арнольда утверждает, что число неподвижных точек гамильтонова симплектоморфизма на асферичном компактном симплектическом многообразии M не меньше суммы рангов групп гомологий M над Z/2Z. Я расскажу о доказательстве Флоера гипотезы Арнольда, приведу конструкцию Лагранжевых и Гамильтоновых гомологий Флоера и дам приложения к расслоениям Лефшеца.

В субботу 24 ноября с 15:00 до 18:00 в аудитории 208 состоится следующая лекция курса: Ваня Яковлев (МЛЗС), Гамильтоновы гомологии Флоера

Гипотеза Арнольда утверждает, что число неподвижных точек гамильтонова симплектоморфизма на асферичном компактном симплектическом многообразии M не меньше суммы рангов групп гомологий M над Z/2Z. Я расскажу о доказательстве Флоера гипотезы Арнольда, приведу конструкцию Лагранжевых и Гамильтоновых гомологий Флоера и дам приложения к расслоениям Лефшеца.

В субботу 10 ноября с 15:00 до 18:00 в аудитории 208 состоится следующая лекция курса: Ваня Яковлев (МЛЗС), Расслоения Лефшица и экзотические симплектические структуры 1

Классификация Вайнштеновых структур с точностью до симплектоморфизма совпадает с классификацией с точностью до деформации. Это задача скорее "гибкая": Элиашберг и его ученики доказали разные версии h-принципа для Вайнштейновых областей, в частности показали, что в каждом классе деформации можно найти комплексное аффинное многообразие. Удивительно, что на каждой области можно построить счетное семейство попарно несимплектоморфных Вайнштейновых структур. Цель ближайших лекций - рассказать конструкцию Абузаида-Зайделя этого семейства. Основным примером будут расслоения Лефшица с одним и тем же слоем, но разными лагранживыми циклами. Инвариант, который различает симплектические структуры - категория Фукая-Зайделя и симплектические когомологии, определением которых мы займемся в этом курсе в дальнейшем.

В субботу 20 октября с 15:00 до 18:00 в аудитории 208 состоится следующая лекция курса: Ваня Яковлев (МЛЗС), Теорема Жиру-Дональдсона 2

Я планирую продолжить рассказывать доказательство теоремы о симплектическом дивизоре. А именно, обсудить основное техническое место – существование последовательности асимтотически голоморфных сечений на целочисленном симплектическом многообразии.

В субботу 6 октября с 15:00 до 18:00 в аудитории 208 состоится следующая лекция курса: Ваня Яковлев (МЛЗС), Теорема Жиру-Дональдсона

Я начну рассказывать доказательство следующей теоремы: Рассмотрим замкнутое симплектическое многообразие (V,ω), у которого форма ω имеет целочисленные периоды. Тогда для достаточно большого k, найдется симплектическое подмногообразие W коразмерности 2, гомологический класс которого Пуанкаре двойственный классу k[ω]. При этом, на дополнении V-W существует структура аффинного комплексного многообразия

В субботу 22 сентября с 15:00 до 18:00 в аудитории 208 состоится следующая лекция курса: Людмил Кацарков (Научный руководитель МЛЗС), Симплектическая теория Лефшица 3.

Мы введём основы теории Дональдсона-Гомфа и ее связи с теорией Уру-Кацаркова. Мы рассмотрим некоторые примеры и приложения.

В субботу 15 сентября с 15:00 до 18:00 в здании МЦНМО (Независимом Университете) в аудитории 304 состоится вторая лекция курса: Людмил Кацарков (Научный руководитель МЛЗС), Симплектическая теория Лефшица 1.

We will present a short intro in Lefschetz ( classical and symplectic) theory. Many examples, applications and open questions will be given.

Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.

Международная лаборатория зеркальной симметрии и автоморфных форм

Вайнштейновы многообразия и симплектические когомологии

Подробнее о курсе

Конспекты:

Аннотация лекций

Занятия: