Онлайн лекции из серии научных презентаций исследований молодых ученых "Новые имена"
МЛЗС НИУ ВШЭ: Научный сотрудник
BIMSA: Postdoc
В 2024 году в целях реализации проекта "Геометрия и Физика" по программе "Международное академическое сотрудничество" МЛЗС предложила начать серию оригинальных докладов молодых ученых «Новые имена» . Главная задача серии обзоров – привлечь внимание к актуальным научным работам перспективных молодых ученых НИУ ВШЭ и BIMSA.
Первым докладчиком данной серии стал научный сотрудник Лаборатории, кандидат математических наук Александр Калмынин.
В сессии докладов «Новые имена» 24.04.2025 г. свои результаты представили: научный сотрудник Лаборатории - Дмитрий Пирожков и постдок BIMSA - Angel Toledo. Энгель Толедо является учеником и соавтором одного из руководителей программы МАС с китайской стороны - Артана Шешмани.
Angel Toledo выступил с онлайн лекцией "Relative Monoidal Bondal-Orlov", а Дмитрий Пирожков прочитал лекцию "Semi-orthogonal indecomposability for minimal surfaces”.
Оба доклада посвящены вопросам современной алгебраической геометрии в ее категорной интерпретации.
Ниже дано более подробное описание результатов, представленных в докладе Дмитрия Пирожкова "Неразложимость производных категорий для минимальных поверхностей".
| Производная категория когерентных пучков на алгебраическом многообразии – важный алгебраический инвариант. Для изучения производных категорий часто оказывается полезным описать триангулированную категорию как склейку нескольких более маленьких подкатегорий с помощью полуортогонального разложения. Опишем два наиболее классических примера полуортогональных разложений. Сперва рассмотрим геометрический случай: раздутие (гладкой) точки на многообразии. При раздутии производный функтор обратного образа является строго полным, то есть задаёт вложение полной подкатегории. Тем самым производная категория раздутия склеивается из производной категории базового многообразия и некоторой явно описываемой простой категории, соответствующей точке. Второй пример имеет более алгебраический характер: у проективного пространства P^n существует исключительный набор O, O(1), …, O(n), что, иными словами, означает, что каждое из упомянутых линейных расслоений порождает очень просто устроенную триангулированную подкатегорию, а вся категория пучков на проективном пространстве склеена из этих n+1 подкатегорий. Первый пример напоминает ситуацию с группой Пикара или же со структурами Ходжа: при раздутии точки эти инварианты изменяются похожим образом. Впоследствии при изучении трёхмерных многообразий оказалось, что другие важные геометрические преобразования, встречающиеся в бирациональной геометрии, а именно флипы и флопы, тоже отражаются на уровне производных категорий схожим образом с многими другими классическими инвариантами. Естественно предположить, что поведение производных категорий и полуортогональных разложений во многом параллельно геометрическим модификациям, встречающимся в программе минимальных моделей. Как показывает второй описанный выше пример, в максимальной общности это не может быть верно, потому что некоторые полуортогональные разложения имеют скорее алгебраический характер, чем геометрический. Однако в некоторых случаях, например, для поверхностей, связь может оказаться более тесной, чем кажется. Ш. Окава в 2023 году выдвинул такую гипотезу: у минимальной поверхности, то есть у такой, чей канонический класс является численно эффективным, производная категория допускает полуортогональное разложение тогда и только тогда, когда структурный пучок является исключительным объектом. Эта гипотеза основывается на ряде более ранних работ о полуортогональных разложениях поверхностей. В частности, гипотеза уже на момент формулировки оставалась открыта лишь для тех минимальных поверхностей, чей канонический класс эффективен, причём лишь в тех случаях, когда канонические дивизоры, рассмотренные как конфигурации кривых на поверхности, были устроены достаточно сложно. В своём докладе Дмитрий Пирожков рассказал, как, опираясь на свойства схем Пикара кривых – возможно, приводимых и, главное, неприведённых, можно доказать гипотезу Окавы. Мотивацией всего подхода было хорошо известное свойство жёсткости полуортогональных расслоений относительно подкруток на линейные расслоения из связной компоненты группы Пикара многообразия. Некоторый аналог этого свойства удалось доказать для полуортогональных разложений, сосредоточенных вдоль кривой на поверхности. Используя классические результаты о схемах Пикара кривых, мы показали, что если поверхность минимальна, то любое такое разложение тривиально, а из работ Окавы и прочих математиков легко следует, что для поверхностей с эффективным каноническим классом других разложений существовать не может. |