IV Летняя студенческая математическая школа "Алгебра и теория чисел" в УЦ НИУ ВШЭ "Вороново"

Идеи методов решета в теории чисел восходят к Эратосфену и его решету — способу нахождения всех простых чисел, не превосходящих данной величины. В современном виде методы решета впервые появились у Бруна и представляли собой очень креативное применение формулы включений-исключений. Так получается, например, доказать, что сходится ряд из обратных к числам-близнецам. В 2013 году развитие идей Сельберга привело к доказательству Жангом и Мейнардом бесконечности множества ограниченных промежутков между простыми числами. Мы обсудим основы методов решета и докажем теорему Мейнарда об ограниченных промежутках, а также поговорим о следствиях данных результатов в теории простых чисел.

План курса: 

1. Общая гомологическая алгебра (2-3 лекции): 

• Категории, полуточные функторы, сопряженность; 
• Комплексы, когомологии, гомотопии;
• Инъективные, проективные объекты, группы Ext;
•  Спектральные последовательности.  

   2. Остальная часть курса — это конкретные примеры. Будет  сделан упор на  интерпретации групп когомологий:

• Топология — сингулярные гомологии и когомологии, когомологии пучков;
• Алгебра — когомологии групп (группа Брауэра, расширения групп); 
• Деформации модулей, деформации алгебр, деформации гладких проективных  многообразий. 

Планируется обсудить конструкции и свойства характеристических классов векторных расслоений. Основные примеры: классы Штифеля-Уитни, Чженя и  Понтрягина, а также класс Эйлера.

У них у всех несколько разные области применения. Мы разберем ряд важных примеров и приложений, а также прорешаем набор полезных задач.