Теория Кодирования как введение в Алгебру и Арифметику
профессор Гриценко Валерий Алексеевич
1, 2 модуль 2020 года
В данном спецкурсе мы продолжим освоение современной алгебры и арифметики на примерах базовых вопросов теории кодирования.
Первые задачи этой теории немедленно приводят нас к таким математическим объектам как конечная плоскость Фано, грассманиан и граф Грассмана, лагранжианы (ортогональные себе подпространства), простая линейная группа GL_3(F_2) из 168 элементов, плотнейшая восьмимерная решетка E_8. Богатство математических структур объясняется тем, что математическое кодирование возникло при решении конкретных проблем машинной обработки и передачи информации во второй половине ХХ века. Так код Голея (1949) используется космическим аппаратом Вояджер 1, не так давно навсегда покинувшим Солнечную систему. Новизна и оригинальность вопросов дает хороший повод познакомится с теоретической математикой через призму теории кодирования.
Теория кодирования над полями тесно связана с теорией Галуа конечных полей, с классическими линейными группами и спорадическими простыми группами. Теория кодирования над кольцами близка к интереснейшим арифметическим вопросам теории квадратичных решеток. Мы изучим достаточно необычные конечные квадратичные формы со значениями в фактор кольце Q/Z, которые впервые появились в топологии в конце 50х годов, а сегодня успешно применяются как в алгебраической геометрии, так и в теории кодирования. Используя точку зрения кодирования, мы познакомимся с классическими решетками A_n, D_n, E_6, E_7, E_8, построим унимодулярные квадратичные решетки Нимейера и решетку Лича. Отметим, что совсем недавно было доказано, что решетка Е_8 и решетка Лича определяют плотнейшие упаковки шарами евклидова пространства размерности 8 и 24.
Целевая аудитория спецкурса — студенты второго-третьего курсов и мотивированные студенты первого курса.
Нашли опечатку?
Выделите её, нажмите Ctrl+Enter и отправьте нам уведомление. Спасибо за участие!
Сервис предназначен только для отправки сообщений об орфографических и пунктуационных ошибках.