Цель математика — решение проблем
Сегодня отмечает день рождения Валерий Гриценко
31 марта исполняется 70 лет профессору факультета математики НИУ ВШЭ, руководителю Международной лаборатории зеркальной симметрии и автоморфных форм Валерию Алексеевичу Гриценко. О семи кёнигсбергских мостах, решении проблем и математических школах юбиляр рассказал «Вышке для своих».
Задача о семи кёнигсбергских мостах
Говорят, математиком становится тот, кто ничем другим не может заниматься. Это отчасти относится и ко мне. В начальной школе я не дружил с каллиграфией. Поэтому писать не любил и, когда это было возможно, старался решать задачи в уме. В двенадцать лет я увидел в витрине магазина книгу с иллюстрацией знаменитой задачи Эйлера о семи кёнигсбергских мостах и купил ее на день рождения.
Кёнигсберг, сейчас Калининград, — город, в котором я провел детство. В Кёнигсбергском университете, знаменитой Альбертине, работали многие выдающиеся математики. Леонард Эйлер, решивший историческую задачу о мостах, никогда по ним не ходил, зато в Кёнигсберге работал и построил обсерваторию известный немецкий математик и астроном первой половины XIX века Фридрих Бессель. Моя первая школа размещалась как раз в здании этой обсерватории. Потом, когда я учился в третьем классе, нас перевели в только что восстановленное здание университета, стены которого помнили Линдемана (именно он доказал трансцендентность числа пи), Гурвица, Минковского, Гильберта. Мой первый большой онлайн-курс в ВШЭ назывался “Jacobi modular forms: 30 ans après”. Так вот, Карл Якоби был самым молодым ординарным профессором Кёнигсбергского университета, где в 1829 году вышла его знаменитая монография «Новые основы теории эллиптических функций». В то время, когда я учился в школе, при университете работала воскресная математическая школа для старшеклассников, но мне, семикласснику, ходить туда никто не запрещал. Потом я победил на областной математической олимпиаде и поступил в школу-интернат №45 при Ленинградском государственном университете. Решение Эйлера задачи о семи мостах было опубликовано в трудах Санкт-Петербургской академии в 1741 году. И я двинулся к корням российской математической школы. Экзаменовал меня Марк Иванович Башмаков — один из организаторов интерната, математик, педагог, альпинист и коллекционер. К сожалению, недавно Марка Ивановича не стало, а его уникальная коллекция книг теперь хранится в Эрмитаже.
Мы тут с вами не на кружке
Математику часто называют сверхъестественной наукой. В том числе чтобы отделить от пула естественных наук. Но не только. Безусловно, элемент жречества в математике есть. Ведь предмет ее изучения — это абсолютная истина. Сегодня многие формальные вычисления и даже части доказательств новых результатов завязаны на компьютерах, что сильно помогает в работе, но любой математик в какой-то мере остается мыслителем. Возьмите знаменитую теорему Гёделя о неполноте. Сильно упрощая: он доказал, что непротиворечивость арифметики доказать нельзя. Философы до сих пор ее обсуждают. А нам эту теорему с подробными полными доказательствами излагали на спецкурсе в школе-интернате.
Для тех, кто далек от темы математического образования, небольшой экскурс. Физико-математические школы-интернаты, в одну из которых я поступил, были созданы в начале 1960-х годов по инициативе двух крупных ученых — математика Андрея Колмогорова и физика Исаака Кисина. В стране таких школ было всего четыре: в Москве, Ленинграде, Новосибирске и Киеве. Наша, ленинградская школа была совсем небольшая по современным меркам, на двенадцать классов: два восьмых, пять девятых и пять десятых. Утром уроки, а после обеда начинались спецкурсы. Учили нас в основном молодые преподаватели и аспиранты. Математическому лидеру школы, одному из лучших моих педагогов, у кого я учился не только математике, но и умению ее преподавать, Юрию Иосифовичу Ионину, было на тот момент 26 лет. Помню, как-то во время бурного обсуждения он сделал нам замечание: «Давайте серьезно заниматься. Мы тут с вами не на кружке. Мы математику изучаем». Педагоги создавали для нас оригинальный, как сейчас сказали бы, контент — абсолютно уникальные курсы. Трудные, но доступные. Нас учили в основном той математике, которая с университетской не сильно пересекалась. Это радикально расширило наш научный кругозор и возможность впоследствии преподавать почти любые математические дисциплины. Скажем, много позже во Франции на основе нашей «школьной» математики я без труда написал оригинальный курс дискретной математики для программистов.
Кстати, работая во Франции, я понял, что и московские математические олимпиады, которые начались еще в 30-е годы, и журнал «Квант», и вообще советская популярная математика — все это создавалось на очень серьезном базисе и отчасти пришло из Франции. Уже в XIX веке там выходил журнал “La Nature”, для которого писали популярные статьи с задачами очень хорошие математики. А советский журнал «Наука и жизнь» был сделан по образу и подобию популяризаторского издания “La Science et la Vie”, учрежденного во Франции же 1 апреля 1913 года. То есть наша страна не изобретала велосипед, а вписалась в важнейший мировой тренд. В годы моей учебы в школе-интернате — с 1969 по 1972 год — отечественная школа преподавания математики опережала мировой процесс на 50–70 лет. Выпускники ленинградского и московского математических интернатов ведут сегодня научную работу во всех ведущих в научном отношении странах. Это огромный ресурс, созданный небольшим экспериментом из начала 60-x.
С утра — рутина, после обеда — творчество
В интернате я почувствовал себя причастным к ленинградской математической школе. В ЛГУ к нам относились как к своим, и у меня даже мысли не возникло поступать куда-то еще. В университете опять же у всех были обязательные курсы. Но я как индивидуалист предпочитал проводить это время в библиотеке. Настоящая жизнь начиналась после обеда, когда читались спецкурсы. Младшекурсники тоже могли их посещать, и я пользовался этой возможностью. Например, в течение трех семестров спецкурс по топологии читал Владимир Абрамович Рохлин — один из лучших лекторов, кого я знал. Для меня и сейчас актуально такое распределение: с утра — рутина, а после обеда — творческая деятельность.
Обычно тут принято вспоминать о научных руководителях, но, я хочу сказать, не менее важен общий состав преподавателей, учеников и студентов, с которыми вы вместе учитесь. В школе-интернате у нас сложился кружок из четырех-пяти человек. Мы изучали настоящую серьезную математику, которую почти не затрагивают в вузах. В том же составе мы продолжили занятия в университете. Все стали профессиональными математиками международного уровня и многого достигли в науке.
После университета я пошел в аспирантуру Ленинградского отделения Математического института Академии наук им. В.А. Стеклова (ЛОМИ). Математика — предмет, который можно изучать до бесконечности. Поэтому надо начиная с какого-то момента связать изучение с решением серьезных математических проблем. Тут, конечно, нужен научный руководитель, который сформирует для вас набор задач. Моим научным руководителем в академии был Анатолий Николаевич Андрианов, очень сильный математик, у которого я написал диплом, мою первую научную статью, опубликованную на пятом курсе в старейшем российском математическом журнале «Математический сборник». Я довольно быстро защитился и в 1979 году стал младшим научным сотрудником ЛОМИ. Это, безусловно, был математический оазис. Скажем, я всю аналитическую теорию чисел выучил во время долгих чаепитий, которые у нас проходили по понедельникам и четвергам с коллегами в комнате 319. Были у нас свои локальные семинары «по этажам». Наш семинар по автоморфным формам соответствовал третьему этажу. А на пятом — семинар по матфизике Людвига Фаддеева. Отмечу, что на четвертом этаже работали топологи. Вот Григорий Перельман — это четвертый этаж. Сегодня это уже история.
Когда не получается одно, должно получаться что-то другое
Моя область исследований — теоретическая математика. С одной стороны, это арифметика, те задачи, которые ставили Эйлер, Гаусс, Риман, но я их решаю не арифметическими, а трансцендентными методами, используя комплексный анализ и теорию специальных функций. В фундаментальной, или чистой, математике задачи формируются в рамках работы всего математического сообщества. Ведь через что развивается математика? Через проблемы, которые до этого не могли решить. На них концентрируются усилия многих ученых, которые, не зная друг друга, работают над ними. Фактически виртуальный международный коллектив. Так постепенно складываются математические теории, возникают новые математические исчисления.
Цель математика — решение проблем, которые никто не может решить. Так что, я бы сказал, математика — наука во многом депрессивная. В том смысле, что если вы серьезный математик, то проблемы, над которыми вы работаете, как правило, не решаются, и долго не решаются! Вам приходится использовать самые разные методы и заходить в новые для вас области математики. В итоге, как правило, математики несколько раз за жизнь меняют направление исследований. Я сам начинал с теории чисел и теории L-функций модулярных форм, потом перешел к задачам алгебраической геометрии. А позже через алгебраическую геометрию и модулярные формы мы с моим коллегой Вячеславом Никулиным, который работает в Математическом институте им. В.А. Стеклова РАН, занялись бесконечномерными алгебрами Ли. В этом плюс: когда у вас не получается что-то одно, обязательно начинает получаться что-то другое.
Один из лучших моих результатов по алгебраической геометрии — решение последнего открытого вопроса программы Андре Вейля о К3-поверхностях, сформулированной в 1956 году. Решение было представлено на семинаре Бурбаки в 2007 году. Заняться этой проблемой мне предложил Андрей Николаевич Тюрин из МИАН, когда мы вместе работали в Гёттингенском университете в 1992 году. Он имел талант вовлекать людей в свою науку и стал моим Вергилием в области алгебраической геометрии. В 1993-м я предпринял первую попытку, что позволило дать ответ на вопрос Карла Людвига Зигеля (тоже из 50-x годов) о модулях абелевых поверхностей, и я как бы почти решил задачу Вейля. Но путь от этого «почти» до окончательного решения занял пятнадцать лет. Если говорить о последних научных достижениях, то в сотрудничестве с немецкими математиками Доном Загиром (является почетным директором Института математики им. Макса Планка) и Нильсом Скоруппой удалось построить теорию тета-блоков, специальных модулярных форм Якоби, которая уже дала много интересных приложений в теории чисел, алгебраической геометрии и математической физике. Работа над этой теорией началась в 2010 году, а большая итоговая статья о ней вышла только в конце 2024 года в одном из лучших европейских математических журналов. И как уложить подобный процесс международных исследований в рамки современных грантов? Важный вопрос для нашего научного руководства!
Тот, кто нам мешает, должен нам помочь
В отличие от ученых, занятых в других областях науки, математики в советское время не очень страдали от идеологии и не чувствовали себя в изоляции. Таблица умножения одна и та же во всех странах. Это до сих пор нам очень помогает! Ведущие ученые ЛОМИ ездили за границу и привозили новейшие научные идеи. Иностранные коллеги тоже приезжали в наш институт. Так я познакомился в 1987 году в Ленинграде с оригинальнейшим американским исследователем в области теории чисел Доном Загиром. Сам я впервые поехал в командировку в 1982-м. Это был Берлин, Институт математики АН ГДР. Потом читал на испанском лекции на Кубе — тоже в Академии наук, что очень помогло мне в быту, так как мой сын пошел учиться в испанскую школу. В 1988 году состоялась первая длительная поездка — в Бонн, в Институт математики им. Макса Планка, один из лучших европейских математических центров. Там почти нет постоянных сотрудников, в основном приглашенные исследователи, которые приезжают на срок от месяца до года. Я долго сотрудничал с этим институтом, трижды проводил там семестровые научные программы, и уже двадцать один год веду с коллегами совместный франко-немецкий семинар Аахен — Бонн — Кёльн — Лилль по теории автоморфных форм. Создатель и первый директор института Фридрих Хирцебрух был не только ярким математиком, но и уникальным администратором и отчасти моим наставником в этой области. У него были очень интересные принципы. Например, такой: любое отрицательное влияние извне надо отразить с положительным эффектом для своей организации. Грубо говоря, тот, кто нам мешает, должен нам помочь.
Институт математики им. Макса Планка в Бонне по-прежнему является местом сборки для математиков всего мира, в первую очередь для молодых ученых. В 2024/25 году там работает в качестве постдока мой первый аспирант в НИУ ВШЭ Дмитрий Адлер. Поколения меняются, а традиция остается. В 90-e я работал во многих немецких университетах: в Гёттингене, Гейдельберге, Гамбурге, Билефельде. Из всех математических школ немецкая мне наиболее близка. Франция, хотя в плане математики это уникальная страна, в моей биографии возникла случайно. Когда я уже поработал в Германии, Швейцарии, Англии, Японии, меня пригласили в парижскую École normalе прочитать два доклада в один день — на семинаре по математике и семинаре по теоретической физике. И так получилось, что после этого я получил конкурсное место полного профессора университета в Лилле, где преподавал с 1998 года и вел исследования в математической лаборатории им. Пенлеве Университета наук и технологий, а с этого года являюсь его почетным профессором. Помимо этого, я был одним из руководителей Европейского центра научных исследований по математике и физике в Лилле и членом Университетского института Франции (IUF).
Смешать, но не взбалтывать
Может показаться забавным, но с московскими математиками и физиками я знакомился за границей: в Чикаго, Бонне, Гёттингене, Киото, Цюрихе, Париже. Именно эти контакты привели меня в Москву. Сначала на семинар Игоря Ростиславовича Шафаревича в МИАН, а потом в НИУ ВШЭ. В Вышке я примерно десять лет. Началось все с приглашения в 2013 году на летнюю математическую школу Лаборатории алгебраической геометрии в Ярославле, которое я получил от Фёдора Алексеевича Богомолова, обладателя одного из первых вышкинских мегагрантов. Я прочитал на школе мини-курс, и мне все очень понравилось: и идея школы, и Лаборатория алгебраической геометрии, и сами студенты. Наше сотрудничество продолжилось. Сначала я стал иностранным научным сотрудником, потом — иностранным профессором, а с 2017 года заведую Международной лабораторией зеркальной симметрии и автоморфных форм.
Помню, пять лет назад меня спросили, чем хорош вышкинский факультет математики, и я ответил: «Факультет замечателен тем, что у нас нет ни одного профессора, который бы его окончил». При старой системе было обычной практикой, что все на факультете, от профессора до аспиранта, — выходцы из того же университета. В Европе ученые, представляющие разные математические школы, перемешиваются. Табель о рангах должна все время меняться. Например, на нашем факультете собрались люди, работавшие в разных московских вузах, иностранные ученые, представители региональных школ. С этой точки зрения я — представитель петербургской школы с присущей ей европейской спецификой. Я бы еще мечтал постоянно «перемешивать» студентов-математиков Москвы и Санкт-Петербурга, чтобы они знакомились друг с другом во время учебы. Петербургский математический факультет сейчас очень сильный. Туда, как когда-то в математический интернат, отбирают лучших абитуриентов со всей страны. В нашей лаборатории уже четыре стажера, учившихся в Санкт-Петербурге. С другой стороны, Москва по количеству математических площадок — настоящая мировая столица. Ее заслуженно выбрали местом Международного математического конгресса 2022 года, в программу которого были включены две сателлит-конференции нашей лаборатории. К сожалению, данное событие не сложилось. Сейчас мы преодолеваем текущие международные ограничения, начав большой совместный проект с пекинским институтом Шинтуна Яу, одного из самых известных математиков современного мира. Я завидую нашим студентам. Сейчас в Москве у молодого человека есть все, чтобы выучить современную математику и войти в мировое математическое комьюнити. Факультет математики активно развивается и расширяет свою деятельность. На факультете работают уже четыре международные научные лаборатории, проводятся летние и зимние научные студенческие школы, на которые приезжают студенты из Петербурга, Новосибирска, других городов. Это очень важно — как можно раньше познакомиться с теми, кто в будущем станет, с одной стороны, вашими конкурентами, а с другой — вашими коллегами. Математика нуждается в общении и очном, и заочном. Она формируется коллективно. Наш факультет — один из лучших математических факультетов, которые я знаю. Сейчас, в компьютерную эру, нужно не бояться быть смелее и пробовать вводить новые принципы в математическое образование, так как именно математика стала наукой номер один XXI века. Мир стремительно развивается, и очень важно стать теми, кто задаст тренд на будущее. Опыт ХХ века показывает, что мы можем быть мировыми лидерами в этой области.