Семинар "Автоморфные формы и их приложения"
Автоморфный семинар состоится 20 января в 18:10 в 306 ауд.
МЛЗС НИУ ВШЭ, Факультет математики
На семинаре выступит Александр Калмынин (НИУ ВШЭ) с докладом "Тождественно нулевые ряды Пуанкаре"
Абстракт: Ряд Пуанкаре P_{m,k,N} веса k, уровня N и индекса m — это параболическая форма, получающаяся усреднением экспоненты exp(2\pi i m\tau) по действию группы Г_0(N). Его фундаментальное значение заключается в двойственности: m-ый коэффициент произвольной параболической формы веса k и уровня N выражается через скалярное произведение Петерссона (f,P_{m,k,N}) с рядом P_{m,k,N}. Из конструкции следует явная формула для коэффициентов ряда Пуанкаре в виде бесконечных сумм, содержащих функции Бесселя и суммы Клостермана.
Несмотря на трансцендентный вид этих выражений, оказывается, что некоторые ряды тождественно равны нулю (например, P_{6,4,8}=0). Этот феномен тесно связан со свойствами операторов Гекке. Необращение же в нуль всех рядов веса 12 и уровня 1 эквивалентно гипотезе Лемера о тау-функции Рамануджана.
В докладе будет дан обзор свойств рядов Пуанкаре, их связи с операторами Гекке и периодами. Также будет обсуждаться асимптотический результат Ранкина: если c>0, то для достаточно больших k ряды Пуанкаре уровня 1, веса k и индекса m<k^(2-c) не равны нулю.